Problema 13 del concurso Marató de problemes 2025 Se dirige a una edad de: 14-15 años
En un cuadrado ABCD de 4 unidades de lado, se marca un punto E en el lado DA de forma que la longitud entre E y D es de 3 unidades.
En la figura se puede apreciar una circunferencia R, tangente a los lados DA y AB, y al segmento CE.
a) Encuentra el radio de la circunferencia R razonadamente.
b) Decidir cómo se puede hacer una construcción con regla y compás que nos permita trazar la circunferencia R.
Solución:
Veo dos formas de enfocar este problemas, por semejanzas y radios, o bien por bisectrices, como la mayoría de tangentes.
Por bisectrices, es utilizar que si tenemos una circunferencia tangente a dos rectas, su centro está sobre la bisectriz de las dos rectas.
En este caso, al ser tangente a tres rectas es fácil encontrar dos o tres bisectrices.
Hay una tercera bisectriz, en la que estaría el centro, pero no es tan obvia (la que forman AE y BC).
Hay varios métodos para fabricar las bisectrices, pero yo prefiero hacer los vectores y usarlos para conseguir el vector de la bisectriz.
Por ejemplo, si ponemos los ejes sobre el punto D, y usamos los lados del cuadrado para los ejes, y la unidad de medida como unidad, tenemos que el punto C es (4, 0), E es (3, 0), A es (0,4) y B es (4, 4)
El vector EC sería (1, 0) y el vector EA sería (-3, 4).
Si los normalizamos (los cambiamos de tamaño sin cambiar su dirección o sentido) serían (1, 0) y (-3/5 , 4/5).
Ahora, al sumarlos tendríamos un vector que apuntaría en la dirección de la bisectriz. (2/5, 4/5). Como necesitamos sólo su dirección, lo voy a multiplicar por un valor para simplificarlo: (1, 2).
Con ese vector construimos la ecuación de la recta 2x – y = B, que si queremos que pase por (3, 0) tiene que ser 2x – y = 6.
Ahora, el vector CE es (-1, 0) y el vector CB es (0, 4). Normalizados serían (-1, 0) y (0, 1). Su suma sería (-1, 1) que no se puede simplificar mucho.
La ecuación de la bisectriz sería x + y = B, que si queremos que pase por C (4, 0) será x + y = 4.
Ahora, para cortar las dos rectas, resolvemos el sistema ( 2x – y = 6, x + y = 4) y obtenemos el punto (10/3, ⅔). Ése es el centro, y su distancia a cualquiera de las tres rectas, el radio, que en este caso no hay que darle muchas vueltas, es ⅔.
El método con regla y compás aquí sería muy sencillo, ya que hacer las bisectrices es un proceso muy conocido.
La otra forma de abordar el problema es dibujar todos los radios.
Y establecer las diferentes medidas, ya que sólo hay que fijarse en que si llamamos r al radio, el punto de tangencia horizontal divide al segmento EC en dos, r y 1 – r.
Por la simetría entre las tangentes, este segmento 1 – r está presente también en el triángulo que se forma entre la horizontal y el punto de tangencia oblicuo, y este triángulo tiene una componente vertical que, debido a cuestiones de semejanza con el triángulo EAD, tendrá una componente vertical 4/5 – 4r/5.
Debido a la misma semejanza, vemos que se forma otro triángulo con el radio al punto de tangencia oblicuo, que tiene una hipotenusa de tamaño r y una componente vertical, por semejanza, de 3r/5.
Sumando las dos obtenemos 4/5 – r/5 = r, con lo que 4/5 = 6r/5 y por tanto 4 = 6r, de donde deducimos que r = ⅔.
Otra construcción con regla y compás, por tanto, sería dividir el segmento EC en tres partes iguales, que mide ⅓ cada una de ellas. Levantar una vertical por el punto de los tres más cercano a E, y también hacer una circunferencia centrada en C que pase por ese punto, y ver donde corta al segmento BC. Haciendo una horizontal por ese punto y viendo donde corta a la trazada anteriormente, tendríamos el centro de la circunferencia.
