Problema 7 de la Olitele (Olimpiada Telemática de Cataluña) 2017
Se dirige a una edad de: 16-17 años

a) Para una función polinómica de segundo grado p(x) = x² + ax + b con coeficientes a y b enteros, existen dos números diferentes m y n que cumplen p(m) = p(n) = 2017. Demuestra que no existe ningún número entero z que cumpla p(z) = 2018.

b) Dar un ejemplo de una función polinómica q(x) con coeficientes enteros para la cual existan tres números enteros n, m y z que cumplan q(m) = q(n) = 2017 y q(z) = 2018.

c) Para una función polinómica de grado n f(x) = xⁿ + … con coeficientes enteros, existen tres números enteros diferentes m, q y r, que cumplen f(m) = f(q) = f(r) = 2017. Demuestra que no puede haber ningún número entero z que cumpla f(z) = 2018.

Solución:

Hay varias formas de afrontar el apartado (a). Por ejemplo, tratando de resolver un sistema para ver qué valen a y b, o considerar su expresión gráfica. Pero la más útil para abordar las siguientes preguntas es tratar de factorizar la expresión del polinomio.

Puesto que p(m) = p(n) = 2017, si tratamos con el polinomio p(x) – 2017, rápidamente veremos que tiene dos ceros, m y n. Por el teorema del resto, sabemos que p(x) – 2017 = (x – m)(x – n), ya que es de segundo grado y debe ser divisible tanto por x – m como por x – n, y, además, tiene coeficiente principal 1.

Es decir, que p(x) = (x – m)(x – n) + 2017, y si queremos encontrar un valor z que dé 2018, tendremos que (z – m)(z – n) = 1. Pero z – m y z – n son dos números enteros distintos y deben dar 1, lo cual es imposible, ya que el 1 sólo admite dos factorizaciones 1·1 y (-1)·(-1).

Por lo tanto, queda probado el apartado (a).

Podemos usar la pista para resolver la (b) que hemos sacado del (a). Necesitamos un polinomio que tenga tres factores. Por ejemplo, podemos usar (-1)(x – 2)(x – 4), ya que si usamos z = 3, tendremos un producto de tres factores -1, 1 y -1, que da 1. Este polinomio, bien construido, sería (-1)(x – 2)(x – 4) + 2017 = – x² + 6x + 2009, y podemos comprobar que en 2 y en 4 da 2017, mientras que en 3 da 2018.

También podríamos usar (x – 2)(x – 4)², ya que sería 1·(-1)² = 1, y también funcionaría, manteniendo el coeficiente 1 como el del apartado (a). En este caso sería (x – 2)(x – 4)² + 2017 = x³ – 10x² + 32 x + 1985, que de nuevo en 2 y en 4 da 2017, mientras que en 3 da 2018.

Resueltos ya (a) y (b), pongámonos con (c). Hay que dar un paso más en la abstracción.

En este caso, ya no vale un sistema de ecuaciones, ni un método gráfico. Hemos de factorizar el polinomio.

De nuevo, aplicando el teorema del resto, f(x) – 2017 tiene tres ceros, m, q y r.

Por tanto, es divisible por (x – m), por (x – q) y por (x – r).

Claro, como puede ser de grado mayor que tres (necesita ser al menos de grado tres para ser divisible por esos tres), aún quedará un polinomio cociente después de dividir por esos factores (a lo mejor el cociente vale la constante 1, pero puede ser otro polinomio), por lo que sabemos que f(x) – 2017 = (x – m)(x – n)(x – r)h(x), donde h es otro polinomio, de grado cero o mayor.

El caso es que si suponemos que z es un número entero en el que f(z) = 2018, tendremos que 1 = (z – m)(z – n)(z – r)h(x), que es producto de cuatro números, de los que al menos tres son distintos, y eso es imposible porque 1 sólo tiene dos divisores enteros diferentes, 1 y -1. Por lo que no existe tal z.