Problema 0 de la Olitele 2018 Se dirige a una edad de: 16-17 años
¿Cuántas soluciones enteras tiene el sistema de ecuaciones x² = y³ = K para valores de k menores que 20182019?
Nota: una solución es una terna (x, y, k).
En este problema se piden los casos en los que tanto x, como y, como k, son números enteros.
Solución:
Este problema era un problema de entrada, es decir, sencillo, siempre y cuando te dieses cuenta de un detalle.
Puesto que se trata de valores enteros, k debe ser positivo, por se un cuadrado, o cero.
El valor de y debe ser también positivo.
Sin embargo, x puede ser positivo o negativo (y eso se le olvidaba a muchas personas).
Para que un número entero sea a la vez un cuadrado y un cubo, no hay más remedio que sea una potencia sexta. Hay que ver cuántas potencias sextas enteras hay menores que 20182019, que son exactamente 17, ya que 17^6 = 24137569, que es mayor, pero 16^6 = 16777216, que es menor.
Así que los números del 0 al 16 pueden ser k.
Para cada valor de k aparecen dos ternas, la que tiene la raíz cuadrada positiva y la negativa, excepto el 0, que sólo presenta una terna.
Así, tendríamos (0,0,0), (-1,1,1), (1,1,1), (-2, 2, 64), (2, 2, 64) y así sucesivamente. Hasta un total de 33 ternas diferentes.
