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Category Archives: OME
Propiedad del ortocentro
Problema 9 de la Fase Local de la Olimpiada Matemática Española (2025) Se dirige a una edad de: 16-17 años
Sea ABC un triángulo acutángulo cuyos lados tienen longitudes a, b y c, y sea S el área del triángulo.
Sea P un punto interior del triángulo de forma que a·|PA| + b·|PB| + c·|PC| = 4S.
Demuestra que P es el ortocentro del triángulo ABC.
Solución a “Tres números”
Problema 8 de la Fase Local de la Olimpiada Matemática Española (2025) Se dirige a una edad de: 16-17 años
Consideramos una lista con los números 0, 1 y raíz(3).
De forma sucesiva, se va aplicando la siguiente operación: se escoge uno de los tres números de la lista y se le añade un múltiplo racional arbitrario de la diferencia entre los otros dos.
Repitiendo este proceso, ¿es posible conseguir que los tres números de la lista sean 0, raíz(3) − 1 y raíz(3) + 1?
Solución:
(more…)Tres números
Problema 8 de la Fase Local de la Olimpiada Matemática Española (2025) Se dirige a una edad de: 16-17 años
Consideramos una lista con los números 0, 1 y raíz(3).
De forma sucesiva, se va aplicando la siguiente operación: se escoge uno de los tres números de la lista y se le añade un múltiplo racional arbitrario de la diferencia entre los otros dos.
Repitiendo este proceso, ¿es posible conseguir que los tres números de la lista sean 0, raíz(3) − 1 y raíz(3) + 1?
Solución: Aquí.
Solución a “Ecuación diofántica”
Problema 7 de la Fase Local de la Olimpiada Matemática Española (2025) Se dirige a una edad de: 16-17 años
Halla todos los números enteros a y b que satisfacen la ecuación siguiente:
a(a² + b²) + 7 = 5a² + 3b²
Solución:
(more…)Ecuación diofántica
Problema 7 de la Fase Local de la Olimpiada Matemática Española (2025) Se dirige a una edad de: 16-17 años
Halla todos los números enteros a y b que satisfacen la ecuación siguiente:
a(a² + b²) + 7 = 5a² + 3b²
Solución: Aquí.
Solución a “Funciones que cumplen una igualdad”
Problema 6 del viernes de la Fase Local de la LXI Olimpiada Española de Matemáticas (2025) Se dirige a una edad de: 16-17 años
Encuentra todas las funciones f : (0, +∞) → (0, +∞) que cumplen, para x, y > 0 cualesquiera, la igualdad siguiente:
f(x·f(y))) = f(x·y) + x
Solución:
(more…)Funciones que cumplen una igualdad
Problema 6 del viernes de la Fase Local de la LXI Olimpiada Española de Matemáticas (2025) Se dirige a una edad de: 16-17 años
Encuentra todas las funciones f : (0, +∞) → (0, +∞) que cumplen, para x, y > 0 cualesquiera, la igualdad siguiente:
f(x·f(y))) = f(x·y) + x
Solución: Aquí.
Solución a “Coincidencia en un cuadrilátero”
Problema 5 del viernes de la Fase Local de la LXI Olimpiada Española de Matemáticas (2025) Se dirige a una edad de: 16-17 años
Sea ABCD un cuadrilátero convexo de forma que AB∩CD = F y AD∩BC = E.
Demuestra que los circuncírculos de los triángulos BFC, AFD, DCE y ABE tienen un punto en común.
Solución:
(more…)Coincidencia en un cuadrilátero
Problema 5 del viernes de la Fase Local de la LXI Olimpiada Española de Matemáticas (2025) Se dirige a una edad de: 16-17 años
Sea ABCD un cuadrilátero convexo de forma que AB∩CD = F y AD∩BC = E.
Demuestra que los circuncírculos de los triángulos BFC, AFD, DCE y ABE tienen un punto en común.
Solución: Aquí.
Solución a “Divisores que suman 1001”
Problema 4 del viernes de la Fase Local de la LXI Olimpiada Española de Matemáticas (2025) Se dirige a una edad de: 16-17 años
Determina el menor entero positivo n que tiene al menos 4 divisores diferentes a, b, c, y d, que son mayores que 1 y menores que n, de forma que a + b + c + d = 1001.
Solución:
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