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Category Archives: Olimpiadas
Un sistema muy grande
Problema 3 de la Fase Local de la LVI OME 2020 Se dirige a una edad de: 16-17 años
Encuentra todos los posibles valores x, y z, para los que se cumple:
x + y + z = 1
x²y + y²z + z²x = xy² + yz² + zx²
x³ + y² + z = y³ + z² + x 
Solución: Aquí.
Solución a sumas positivas
Problema 2 de la Fase Local de la LVI OME 2020 Se dirige a una edad de: 16-17 años
Sean a1, a2, …, a2020 2020 números reales de manera que la suma de 1009 de ellos cualesquiera es positiva. Demostrar que la suma de los 2020 números también es positiva.
Solución:
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Sumas positivas
Problema 2 de la Fase Local de la LVI OME 2020 Se dirige a una edad de: 16-17 años
Sean a1, a2, …, a2020 2020 números reales de manera que la suma de 1009 de ellos cualesquiera es positiva. Demostrar que la suma de los 2020 números también es positiva.
Solución: Aquí.
Solución a no acaba en uno
Problema 1 de la Fase Local de la LVI OME 2020 Se dirige a una edad de: 16-17 años
Dado un número natural n > 1 realizamos la siguiente operación: si n es par, lo dividimos entre 2; si n es impar, le sumamos 5.
Si el número obtenido tras esta operación es 1, paramos el proceso; en caso contrario, volvemos a aplicar la misma operación, y así sucesivamente.
Determinar todos los valores de n para los cuales este proceso es finito, es decir, se llega a 1 en algún momento.
Solución:
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No acaba en uno
Problema 1 de la Fase Local de la LVI OME 2020 Se dirige a una edad de: 16-17 años
Dado un número natural n > 1 realizamos la siguiente operación: si n es par, lo dividimos entre 2; si n es impar, le sumamos 5.
Si el número obtenido tras esta operación es 1, paramos el proceso; en caso contrario, volvemos a aplicar la misma operación, y así sucesivamente.
Determinar todos los valores de n para los cuales este proceso es finito, es decir, se llega a 1 en algún momento.
Solución: Aquí.
Solución a ecuación con enteros
Problema 3 de la Fase Catalana de la OME 2019 Se dirige a una edad de: 16-17 años
Encontrar los valores del número entero positivo n para los cuales la ecuación xn + (2 + x)n + (2 – x)n = 0 tiene solución entera.
Solución:
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Ecuación con enteros
Problema 3 de la Fase Catalana de la OME 2019 Se dirige a una edad de: 16-17 años
Encontrar los valores del número entero positivo n para los cuales la ecuación xn + (2 + x)n + (2 – x)n = 0 tiene solución entera.
Solución: Aquí.
Solución a la cinta de las latas
Problema 4 de la Olitele 2019 Se dirige a una edad de: 16-17 años
En el dibujo vemos siete latas de refrescos que se mantienen unidas mediante una cinta.
Los círculos representan la parte superior de las latas, y la línea exterior representa la cinta.
Suponiendo que las latas tienen un diámetro de 6 centímetros, calcula la longitud de la cinta (de la forma a·pi + b, con a y b números enteros).
Solución:
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La cinta de las latas
Problema 4 de la Olitele 2019 Se dirige a una edad de: 16-17 años
En el dibujo vemos siete latas de refrescos que se mantienen unidas mediante una cinta.
Los círculos representan la parte superior de las latas, y la línea exterior representa la cinta.
Suponiendo que las latas tienen un diámetro de 6 centímetros, calcula la longitud de la cinta (de la forma a·pi + b, con a y b números enteros).
Solución: Aquí.
Solución a la velocidad del robot
Problema 3 de la Olitele 2019 Se dirige a una edad de: 16-17 años
Berta y Bernat están aprendiendo a programar un robot. Le deben hacer recorrer d metros y lo han programado para que alcance v m/s de velocidad, pero no lo han logrado del todo y el robot se mueve más rápido, consiguiendo (v + x) m/s de velocidad.
Se sorprendieron bastante cuando, al cabo de t segundos desde que el robot había iniciado su marcha, exactamente en el momento que debía llegar a su destino, les notificaron desde la llegada que hacía s segundos que el robot había sobrepasado el punto donde debía acabar su trayecto.
Hicieron girar inmediatamente el robot 180º y lo reprogramaron, pero ahora la velocidad real del robot tampoco fue la acertada, sino que iba más despacio de lo que querían. En el camino de vuelta su velocidad era, curiosamente, (v – x) m/s. ¿Cuánto tiempo después de girar llegó al punto que debía ser el final trayecto inicial?
Solución:
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