Category: Olitele

Problema 2 de la Olitele 2018
Se dirige a una edad de: 16-17 años

En este ejercicio, [x] representa la parte entera del número x, y {x}, su parte decimal.

¿Cuánto suman las soluciones de la ecuación 10[x] + 20{x} = K?

Solución: Continue reading Solución a ecuación decimal

Problema 1 de la Olitele 2018
Se dirige a una edad de: 16-17 años

En una cuadrícula de puntos plana cuyos puntos distan un centímetro del más próximo horizontal y verticalmente, dibujamos un triángulo que se apoya en los puntos de coordenadas (0, 0), (4, 3) y (1, 4), y un cuadrado en los vértices (1, 1), (2, 1), (2, 2) y (1, 2), como indica la figura.

¿Cuál es el área de la parte común?

Solución: Continue reading Solución a triángulo y cuadrado en una rejilla

Problema 0 de la Olitele 2018
Se dirige a una edad de: 16-17 años

¿Cuántas soluciones enteras tiene el sistema de ecuaciones x² = y³ = K para valores de k menores que 20182019?

Nota: una solución es una terna (x, y, k).

En este problema se piden los casos en los que tanto x, como y, como k, son números enteros.
Solución:
Continue reading Solución a menores que 20182019

Problema 7 de la Olitele (Olimpiada Telemática de Cataluña) 2017
Se dirige a una edad de: 16-17 años

a) Para una función polinómica de segundo grado p(x) = x² + ax + b con coeficientes a y b enteros, existen dos números diferentes m y n que cumplen p(m) = p(n) = 2017. Demuestra que no existe ningún número entero z que cumpla p(z) = 2018.

b) Dar un ejemplo de una función polinómica q(x) con coeficientes enteros para la cual existan tres números enteros n, m y z que cumplan q(m) = q(n) = 2017 y q(z) = 2018.

c) Para una función polinómica de grado n f(x) = xⁿ + … con coeficientes enteros, existen tres números enteros diferentes m, q y r, que cumplen f(m) = f(q) = f(r) = 2017. Demuestra que no puede haber ningún número entero z que cumpla f(z) = 2018.

Solución: Continue reading Solución a los polinomios del 2017 y del 2018

Problema 11 de la Olitele (Olimpiada Telemática de Cataluña) 2017
Se dirige a una edad de: 16-17 años

En una bolsa hay n bolas, en cada una de las cuales hay escrito un número natural.

Hacemos el experimento aleatorio de extraer dos bolas de esa bolsa y sumar los números que aparecen.

Designamos como p la probabilidad de que la suma de ambos números sea par, y q la probabilidad de que sea impar.

Estudia cuáles pueden ser los valores de n y qué distribución han de tener los números de la bolsa para que se cumpla que p = q.
Solución:
Continue reading Solución a extraer un par de bolas