Problema 1 de la Fase Local de la LVI OME 2020 Se dirige a una edad de: 16-17 años
Dado un número natural n > 1 realizamos la siguiente operación: si n es par, lo dividimos entre 2; si n es impar, le sumamos 5.
Si el número obtenido tras esta operación es 1, paramos el proceso; en caso contrario, volvemos a aplicar la misma operación, y así sucesivamente.
Determinar todos los valores de n para los cuales este proceso es finito, es decir, se llega a 1 en algún momento.
Solución: Aquí.
Problema 3 de la Fase Catalana de la OME 2019 Se dirige a una edad de: 16-17 años
Encontrar los valores del número entero positivo n para los cuales la ecuación xn + (2 + x)n + (2 – x)n = 0 tiene solución entera.
Solución:
Continue reading Solución a ecuación con enteros
Problema 3 de la Fase Catalana de la OME 2019 Se dirige a una edad de: 16-17 años
Encontrar los valores del número entero positivo n para los cuales la ecuación xn + (2 + x)n + (2 – x)n = 0 tiene solución entera.
Solución: Aquí.
Problema 4 de la Olitele 2019 Se dirige a una edad de: 16-17 años
En el dibujo vemos siete latas de refrescos que se mantienen unidas mediante una cinta.
Los círculos representan la parte superior de las latas, y la línea exterior representa la cinta.
Suponiendo que las latas tienen un diámetro de 6 centímetros, calcula la longitud de la cinta (de la forma a·pi + b, con a y b números enteros).
Solución:
Continue reading Solución a la cinta de las latas
Problema 4 de la Olitele 2019 Se dirige a una edad de: 16-17 años
En el dibujo vemos siete latas de refrescos que se mantienen unidas mediante una cinta.
Los círculos representan la parte superior de las latas, y la línea exterior representa la cinta.
Suponiendo que las latas tienen un diámetro de 6 centímetros, calcula la longitud de la cinta (de la forma a·pi + b, con a y b números enteros).
Solución: Aquí.
Problema 3 de la Olitele 2019 Se dirige a una edad de: 16-17 años
Berta y Bernat están aprendiendo a programar un robot. Le deben hacer recorrer d metros y lo han programado para que alcance v m/s de velocidad, pero no lo han logrado del todo y el robot se mueve más rápido, consiguiendo (v + x) m/s de velocidad.
Se sorprendieron bastante cuando, al cabo de t segundos desde que el robot había iniciado su marcha, exactamente en el momento que debía llegar a su destino, les notificaron desde la llegada que hacía s segundos que el robot había sobrepasado el punto donde debía acabar su trayecto.
Hicieron girar inmediatamente el robot 180º y lo reprogramaron, pero ahora la velocidad real del robot tampoco fue la acertada, sino que iba más despacio de lo que querían. En el camino de vuelta su velocidad era, curiosamente, (v – x) m/s. ¿Cuánto tiempo después de girar llegó al punto que debía ser el final trayecto inicial?
Solución:
Continue reading Solución a la velocidad del robot
Problema 3 de la Olitele 2019 Se dirige a una edad de: 16-17 años
Berta y Bernat están aprendiendo a programar un robot. Le deben hacer recorrer d metros y lo han programado para que alcance v m/s de velocidad, pero no lo han logrado del todo y el robot se mueve más rápido, consiguiendo (v + x) m/s de velocidad.
Se sorprendieron bastante cuando, al cabo de t segundos desde que el robot había iniciado su marcha, exactamente en el momento que debía llegar a su destino, les notificaron desde la llegada que hacía s segundos que el robot había sobrepasado el punto donde debía acabar su trayecto.
Hicieron girar inmediatamente el robot 180º y lo reprogramaron, pero ahora la velocidad real del robot tampoco fue la acertada, sino que iba más despacio de lo que querían. En el camino de vuelta su velocidad era, curiosamente, (v – x) m/s. ¿Cuánto tiempo después de girar llegó al punto que debía ser el final trayecto inicial?
Solución: Aquí.
Problema 2 de la Fase Catalana de la OME 2019 Se dirige a una edad de: 16-17 años
Sea n= 2k un número entero positivo.
Se dice que un subconjunto A de {1, 2, 3, …, n} es bescanoní si cumple que
1) El número 1 pertenece al conjunto.
2) Si un número x pertenece al conjunto, entonces 2x no pertenece al conjunto.
Se pide:
a) Encontrar un conjunto bescanoní con el máximo número de elementos cuando n = 2⁵.
b) Calcular el máximo número de elementos que puede tener un conjunto bescanoní en función de k.
Solución:
Continue reading Solución a conjunto bescanoní
Problema 2 de la Fase Catalana de la OME 2019 Se dirige a una edad de: 16-17 años
Sea n= 2k un número entero positivo.
Se dice que un subconjunto A de {1, 2, 3, …, n} es bescanoní si cumple que
1) El número 1 pertenece al conjunto.
2) Si un número x pertenece al conjunto, entonces 2x no pertenece al conjunto.
Se pide:
a) Encontrar un conjunto bescanoní con el máximo número de elementos cuando n = 2⁵.
b) Calcular el máximo número de elementos que puede tener un conjunto bescanoní en función de k.
Solución: Aquí.
Problema 2 de la Olitele 2019 Se dirige a una edad de: 16-17 años
¿Cuántos números de cuatro cifras (desde el 1000 hasta el 9999) hay que cumplan que la suma del número formado por las dos primeras cifras, más la cifra de las decenas, más la de las unidades, sea igual que el número formado por las dos últimas cifras? 
Solución:
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