Solución a suma 2020

Problema 0 del concurso Olitele 2020
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Calcula el valor de la expresión:

2099² – 2098² + 2097² – 2096² + … + 2023² – 2022² + 2021² – 2020²

Solución:

En este caso, tratamos de sumar restas de cuadrados. Puesto que s² – t² = (s + t)(s – t), y en este caso se trata de números consecutivos de la forma 2n + 1 y 2n (impar y par, respectivamente), podemos aplicar la fórmula (2n + 1)² – (2n)² = 4n + 1.

Es sencillo de comprobar, aunque sea de manera práctica (probando en valores más pequeños), que las diferencias disminuyen de 4 en 4. La más grande es 4197 y la menor es 4041. En total, son 40 términos, que forman una sucesión aritmética, cuya diferencia es 4.

El primer término es 4041, y el término 40 será 4041 + 39·4 = 4197, en efecto.

Y sumar estos términos en progresión aritmética, mediante la estrategia de sumarlos dos veces cambiando el orden para obtener sumas iguales, será (4197 + 4041)·40/2 = 164760.

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dimates

Grupo de divulgación matemática de la Universidad de Alicante

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