El blog de Dimates

Problema 6 de la Fase Local de la Olimpiada Española de Matemáticas 2024 (viernes)
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Sean a, b, c tres números enteros, y sea p >= 5 un número primo.

Demostrar que, si an² + bn + c es el cuadrado de un número entero para 2p – 1 valores consecutivos de n, entonces b² – 4ac es un múltiplo de p.

Solución: Aquí.

Problema 5 de la Fase Local de la Olimpiada Española de Matemáticas 2024 (viernes)
Se dirige a una edad de: 16-17 años

En una fiesta hay 100 personas. Cada par de personas son o bien amigos o bien enemigos (una y solo una de las dos cosas).

Se cumple la siguiente propiedad: si A y B son enemigos y B y C son enemigos, entonces A y C son amigos.

Demostrar que hay dos personas X e Y que cumplen simultáneamente estas condiciones:

X tiene el mismo número de enemigos que Y .

X e Y son amigos.

Solución. Aquí.

Problema 4 de la Fase Local de la Olimpiada Española de Matemáticas 2024 (viernes)
Se dirige a una edad de: 16-17 años 

Sea ABCD un trapecio de bases AB y CD tal que AD = DC = CB = 5 y AB = 10.

Sea O el punto de intersección de las diagonales AC y BD.

La recta perpendicular a AC trazada por O corta a la prolongación del lado AD en E, y a la base AB en F.

Calcular el área del cuadrilátero AECF.

Solución: Aquí.

Problema 3 de la Fase Local de la Olimpiada Española de Matemáticas 2024 (viernes)
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Sea ABCD un cuadrilátero.

Sean J e I los puntos medios de las diagonales AC y BD, respectivamente.

Sea G el punto de la recta BC tal que DG es perpendicular a BC y sea H el punto de la recta AD tal que CH es perpendicular a AD.

Las rectas DG y CH se cortan en el punto K.

Sea E el punto de la recta BC tal que AE es perpendicular a BC y sea F el punto de la recta AD tal que BF es perpendicular a AD.

Las rectas AE y BF se cortan en el punto L.

Probar que KL es perpendicular a JI.

Solución: Aquí.

Problema 2 de la Fase Local de la Olimpiada Española de Matemáticas 2024 (viernes)
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Sea P(x) un polinomio de grado 5, y sean a y b dos números reales diferentes de 0.

Supongamos que el resto de P(x) al dividirlo por x³ + ax + b es igual al resto al dividirlo por x³ + ax² + b.

Determinar el valor de a + b.

Solución: Aquí.