Problema 1 del nivel B de la Olimpiada Provincial de Alicante de la Olimpiada de la Comunidad Valenciana de 2023 Se dirige a una edad de: 14 -15 años
En el rectángulo ABCD, de lados AB = 4 cm, y BC = 5 cm, se ha inscrito el cuadrilátero A’B’C’D’, haciendo que AA’ = BB’ = CC’ = DD’ = x.
Escribe la función que expresa el área de A’B’C’D’ en función de x.
¿Cuál es el dominio de la función?
¿Para qué valor de x se alcanza el mínimo?
Solución: Aquí.
Problema 1 del nivel A de la Olimpiada Provincial de Alicante de la Olimpiada de la Comunidad Valenciana de 2023 Se dirige a una edad de: 12 -13 años
Sabiendo que a + b = 3 y que a² + b² = 29, ¿Cuál es el valor de a³ + b³?
Solución:
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Problema 1 del nivel A de la Olimpiada Provincial de Alicante de la Olimpiada de la Comunidad Valenciana de 2023 Se dirige a una edad de: 12 -13 años
Sabiendo que a + b = 3 y que a² + b² = 29, ¿Cuál es el valor de a³ + b³?
Solución: Aquí.
Problema 11 del concurso Olitele 2022 Se dirige a una edad de: 16-17 años
Se ordenan aleatoriamente las cifras 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, sin repetir ninguna, para escribir un código de 10 cifras (puede comenzar por 0).
a) ¿Cuál es la probabilidad de que en ese código aparezca la cadena de números 123?
b) Cuál es la probabilidad de que en ese código, las cifras 1, 2 y 3, aparezcan en ese orden (el 1 en alguna posición antes del 2, el 2 en alguna posición antes del 3)?
Se crea un código de 10 cifras de manera que cada cifra se elige al azar entre el 0 y el 9, independientemente de las otras.
c) ¿Cuál es la probabilidad de que en ese código aparezca la cadena 20222023?
d) ¿Cuál es la probabilidad de que en ese código aparezca la cadena 2022 y también la 2023?
e) ¿Cuál es la probabilidad de que en ese código aparezca la cadena 2025?
Solución:
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Problema 11 del concurso Olitele 2022 Se dirige a una edad de: 16-17 años
Se ordenan aleatoriamente las cifras 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, sin repetir ninguna, para escribir un código de 10 cifras (puede comenzar por 0).
a) ¿Cuál es la probabilidad de que en ese código aparezca la cadena de números 123?
b) Cuál es la probabilidad de que en ese código, las cifras 1, 2 y 3, aparezcan en ese orden (el 1 en alguna posición antes del 2, el 2 en alguna posición antes del 3)?
Se crea un código de 10 cifras de manera que cada cifra se elige al azar entre el 0 y el 9, independientemente de las otras.
c) ¿Cuál es la probabilidad de que en ese código aparezca la cadena 20222023?
d) ¿Cuál es la probabilidad de que en ese código aparezca la cadena 2022 y también la 2023?
e) ¿Cuál es la probabilidad de que en ese código aparezca la cadena 2025?
Solución: Aquí.
Problema 10 del concurso Olitele 2022 Se dirige a una edad de: 16-17 años
Si a, b y c son tres números reales diferentes de cero que cumplen la siguiente igualdad:
(a + b)/c = (b + c)/a = (c + a)/b = R
¿Qué valor o valores reales puede tener R?
Si para un cierto valor de K (número real diferente de cero) existen tres números reales diferentes de cero a, b y c tales que
(a + Kb)/c = (b + Kc)/a = (c + Ka)/b = S
¿Para qué valores de K resulta que S puede tener un único valor?
¿Cuál es ese valor de S (y cómo depende de K)?
Solución:
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Problema 10 del concurso Olitele 2022 Se dirige a una edad de: 16-17 años
Si a, b y c son tres números reales diferentes de cero que cumplen la siguiente igualdad:
(a + b)/c = (b + c)/a = (c + a)/b = R
¿Qué valor o valores reales puede tener R?
Si para un cierto valor de K (número real diferente de cero) existen tres números reales diferentes de cero a, b y c tales que
(a + Kb)/c = (b + Kc)/a = (c + Ka)/b = S
¿Para qué valores de K resulta que S puede tener un único valor?
¿Cuál es ese valor de S (y cómo depende de K)?
Solución: Aquí.
Problema 9 del concurso Olitele 2022 Se dirige a una edad de: 16-17 años
Queremos descomponer un cuadrado de 1 metro de lado en cuatro triángulos rectángulos como los indicados en la figura.
Encuentra el menor valor de x para el que es eso posible, y calcula, en caso de ser x el valor mínimo, qué área tendrá el triángulo rectángulo coloreado.
Solución:
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Problema 9 del concurso Olitele 2022 Se dirige a una edad de: 16-17 años
Queremos descomponer un cuadrado de 1 metro de lado en cuatro triángulos rectángulos como los indicados en la figura.
Encuentra el menor valor de x para el que es eso posible, y calcula, en caso de ser x el valor mínimo, qué área tendrá el triángulo rectángulo coloreado.
Solución: Aquí.
Problema 7 del concurso Olitele 2022 Se dirige a una edad de: 16-17 años
En el triángulo rectángulo AED de la figura, rectángulo en E, AB es la altura sobre la hipotenusa y EC es la bisectriz del ángulo recto.
Si se cumple que la razón de distancias entre AC y CD es 1:3, razona cuál es la proporción entre las distancias de los tres segmentos AB, BC y CD en que ha quedado dividida la hipotenusa.
Nota: seguramente no es la única manera de enfocar el problema, pero puede ser interesante que se comience por calcular la relación de distancias AB:BD.
Solución:
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