El blog de Dimates

Problema 6 del concurso Olitele 2022
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Se escribe la sucesión de fracciones siguiente:

1/1, 1/2, 2/2, 1/2, 1/3, 2/3, 3/3, 2/3, 1/3, 1/4, 2/4, 3/4, 4/4, 3/4, 2/4, 1/4, …

¿Cuánto suman las fracciones que están escritas con el mismo denominador que la que ocupa la posición número 2022?

Nota: para evitar otras posibles interpretaciones, decimos que el patrón para construir la sucesión es el siguiente: se escriben todas las fracciones positivas menores que 1 de denominador n, y después la fracción n/n y a continuación las mismas fracciones en orden decreciente. Y se retoma la escritura para el siguiente valor de n.

Solución: Aquí.

Problema 5 del concurso Olitele 2022
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Se considera un dibujo con algunas circunferencias concéntricas y algunas rectas paralelas, y miramos el número de intersecciones entre rectas y circunferencias, el plano queda descompuesto en algunas regiones según las posiciones relativas que tengan.

La imagen muestra un par de situaciones con tres rectas y tres circunferencias: En la primera, el plano queda dividido en 20 regiones y en la segunda en 16.

¿Cuál es el máximo número de regiones en que queda descompuesto el plano por c circunferencias concéntricas y r rectas paralelas?

Solución: Aquí.

Problema 4 del concurso Olitele 2022
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Antes de probar con este problema, deberíamos saber que el factorial de un número natural n, que se escribe n!, es n! = 1·2·3·…·(n – 1)·n.

Consideremos el número P, que se consigue de la siguiente manera: P = 1!·2!·3!·…·98!·99!·100! (es decir, como el producto del factorial de los 100 primeros números).

¿Cuál es el valor del número natural s para el cual Q = P/(s!) es un cuadrado perfecto de un número natural?

Solución: Aquí.

Problema 3 del concurso Olitele 2022
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Los puntos E, F, G y H son puntos del lado del cuadrado ABCD que cumplen AE = BF = CG = DH y, además, AE = n·EB, donde n es un valor real positivo.

¿Qué fracción del área del cuadrado ABCD representa el área del triángulo sombreado?

solución: Aquí.

Problema 2 del concurso Olitele 2022
Se dirige a una edad de: 16-17 años

El abuelo, la abuela y Pau comen juntos un domingo.

Para postre, el abuelo ha comprado tres brazos de gitano, uno de nata, uno de trufa y uno de crema.

Pau dice: “Abuelo, para repartirlos mejor, podrías partir cada uno en tres trozos exactamente iguales”. Y así lo hace el abuelo.

Entonces, Pau pregunta: “¿De cuántas formas nos los podemos repartir si cada uno debe escoger tres trozos?

El abuelo no supo responderle a la pregunta en ese momento.

¿Qué respuesta darías tú?

Solución: Aquí.