Fase Comarcal de la Olimpiada Matemática de la Comunidad Valenciana 2016, nivel A Se dirige a una edad de: 12/14
Encuentra todas las formas de conseguir que sumando números naturales impares consecutivos, su resultado sea 200.
Hay que trabajar un poco este problema, pero la suma de impares consecutivos es como sumar varias veces el número que es media de ellos (por ejemplo, 3 + 5 = 2*4, 5 + 7 + 9 = 3*7, etcétera). En cuanto esto está claro, se trata de encontrar las factorizaciones (productos que den ese resultado) de 200 y convertirlas en sumas diferentes.
Resulta fácil llegar a esta conclusión si nos fijamos que los números primero y último, y todos los que equidistan del centro, suma dos veces lo que el número central.
Si sumamos una cantidad de números impares par, el otro factor es par, ya que el número central lo es. Por otro lado, si la cantidad de números impares es impar, ambos factores son impares. Por eso, algunos productos pueden no ser útiles.
Por otra parte, si el factor que nos dice cuántos impares sumamos es demasiado grande, algunos de los números impares han de ser negativos. Por ejemplo, si pensamos en 6*4, y queremos tener 6 impares de media 4, habría que sumar -1 + 1 + 3 + 5 + 7 + 9 para que diese 24.
Con las factorizaciones con números pares, es fácil: 200 = 2*100 = 99 + 101, 200 = 4*50 = 47 + 49 + 51 + 53, 200 = 8*25 (no da suma de impares, porque un factor es par y el otro impar), 200 = 10*20 = 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21 + 23 + 25 + 27 + 29. Si tomamos factores mayores, algunos de los números dan negativos, y entonces no valen.
Con las factorizaciones con números impares, el otro factor debe ser impar también, para que funcione, así que no se da el caso (bueno, si sumamos una cantidad impar de impares, debería dar impar, y 200 es par).
Por lo tanto, la respuesta son las tres posibilidades que hemos encontrado:
99 + 101
47 + 49 + 51 + 53
11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21 + 23 + 25 + 27 + 29
