Canguro Matemático 2017. Nivel 5 (1º Bachillerato), problema 28. Se dirige a una edad de: 16/17
En una balanza se colocan al azar tres pesos en cada platillo, que queda desequilibrada. La figura muestra lo que sucede. Los pesos eran de 101, 102, 103, 104, 105 y 106 gramos.
¿Cuál es la probabilidad de que el peso de 106 gramos esté en el platillo que pesa más?
Solución:
Puesto que la prueba Canguro es una prueba de velocidad, la solución en la pregunta original se debía seleccionar entre cinco propuestas, pero dado que este blog trata de hacer que pienses un poco, hemos pensado que debías deducir el resultado completo.
Las soluciones propuestas eran 75%, 80%, 90%, 95% y 100%.
Puesto que ponemos tres pesas en cada lado, podemos descartar la parte de 100 gramos y pensar sólo en el resto.
Una manera de hacerlo es ver en cuántas de las combinaciones posibles de las dos pesas que acompañan a la de 6 suman más que las otras. Como eso va a ser más probable, podemos contar cuántas suman menos y acabaremos antes.
El peso total de los dos platillos es 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 7*3 = 21, es decir, que cuando superemos 10,5 estaremos en el platillo más pesado.
¿Qué sumas son inferiores y contienen 6? Sólo 6 + 1 + 2 = 9 y 6 + 1 + 3 = 10.
El resto de combinaciones con la pesa 6 pesan más de 10,5. Y el número total de combinaciones sería de 10: 6 + 1 + 2, 6 + 1 + 3, 6 + 1 + 4, 6 + 1 + 5, 6 + 2 + 3, 6 + 2 +4, 6 + 2 + 5, 6 + 3 + 4, 6 + 3 + 5, 6 + 4 + 5.
Una forma rápida de contar las combinaciones es pensar que podemos elegir la primera pesa entre 5, y la segunda entre 4, lo que hace un total de 20. Como puedo ordenarlas, en realidad estoy contando dos veces cada grupo, así que en realidad son 10. Está técnica es muy habitual en el conteo (combinatoria).
Es decir que la probabilidad de que la pesa 6 esté en el plato más ligero es sólo 2/10, por lo tanto la probabilidad de que esté en el plato más pesado es 8/10, o también 80%, si lo expresamos en porcentaje.
Indicar por último que este problema es del grupo de los difíciles, pero en promedio debemos resolver cada uno de ellos en 2 minutos y medio para terminar la prueba, aunque por ser algo más difícil y dar más puntos (5, mientras que los fáciles dan 3 y los medios dan 4), merece que le dediquemos unos tres minutos. Pero es una prueba contrarreloj, hay que ir rápido y no equivocarse mucho.