Olimpiada Matemática Internacional 2017, problema 1.
Se dirige a una edad de: 16/17

Para cada entero a₀ > 1, se define la sucesión a₀, a₁, a₂, … tal que para cada n ≥ 0: a_{n + 1} = √(a_n), siempre que √(a_n) sea entero, mientras que a_{n + 1} = a_n + 3 en cualquier otro caso.

Determinar todos los valores de a₀ para los que existe un número A tal que a_n = A para infinitos valores de n.

Este problema pertenece a la que es, probablemente, la competición más prestigiosa de matemáticas para preuniversitarios. Y todos sus problemas suelen ser complicados, ya que los participantes en este concurso son seleccionados en sus países por su capacidad para resolverlos.

Sin embargo, este primer problema no es demasiado difícil, como prueba el hecho de que el 72.5% (446 personas) lo resolvieron completamente, logrando los 7 puntos en juego. Cuidado, tampoco es sencillo: muchos participantes, seleccionados en sus países, indudablemente preparados, no pudieron resolverlo.

Vamos a analizar lo que nos pide. Quiere que a_n = A para infinitos valores de n, es decir, que un término de la sucesión repita su valor muchas veces. Dicho de otra forma, puesto que es una sucesión definida de forma recursiva, que toda ella se empiece a repetir una y otra vez.

Veamos un ejemplo. Si el primer término es 2, la sucesión que tenemos es 2, 5, 8, 11, 14, … y parece que no se para.

Si el primer término es 3, la sucesión será 3, 6, 9, 3, 6, 9, … y por lo tanto se repetirá infinitas veces el valor de A = 3 (o A = 6, o A = 9).

Observando unos cuantos casos, parece claro que si a₀, el primer término, es múltiplo de 3, la sucesión se estancará, es decir, será del tipo pedido, mientras que si no lo es, no se estancará. Pero en este concurso es imprescindible demostrarlo completamente, por lo que no nos sirve sólo intuir la respuesta.

Veamos que es cierto que si el primer término es múltiplo de 3, la sucesión se estanca.

Todos los términos serán múltiplos de 3.

Si el término n de la sucesión no es un cuadrado perfecto, el siguiente término se obtiene sumando 3, y por tanto también será un múltiplo de 3, como el primero. Claro, que si un cuadrado perfecto es múltiplo de 3, su raíz también lo será, y volveremos a obtener un múltiplo de 3. Por tanto, todos los términos de la sucesión serán múltiplos de 3.

Como todos los términos son mayores que cero, tomemos A como el menor valor que toma la sucesión después de sacar una raíz cuadrada. Iremos saltando de un múltiplo de 3 al siguiente. Puesto que va recorriendo todos los múltiplos de 3, llegará un momento que uno de ellos será un cuadrado perfecto, es decir, de la forma 9x. Y la raíz cuadrada será menor que el cuadrado donde estemos, y, puesto que no puede descender más, recuerda que hemos tomado A como el menor valor posible, volverá a ser A.

Podríamos precisar más, ya que ese valor de A debe ser 3, pero creo que no es necesario. Podemos tomar el menor puesto que todos son positivos.

Vamos con los números que no son múltiplos de 3. Hay dos tipos de esos números. Los que son de la forma 3n + 1 y los que son de la forma 3n + 2. Hay que estudiar sus cuadrados para entender bien lo que sucede.

Observa que (3n + 1)² = 9 n² + 6n + 1 = 3 (3n² + 2n) + 1 = 3 r + 1.

Y (3n + 2)² = 9 n² + 12 n + 4 = 3(3n² + 4n + 1) + 1 = 3 s + 1.

Puesto que los cuadrados de ambos son de la forma 3n + 1, vemos que todos los cuadrados que no son múltiplos de 3 deben ser de esa forma.

Eso quiere decir que, en cuanto uno de los términos de la sucesión sea de la forma 3n + 2, todos los demás a partir de él lo serán también, y nunca se llegará a un cuadrado perfecto, por lo que la sucesión no se estancará y no existirá ese tal valor A.

Por último, queda estudiar aquellos casos en los que todos los términos sean de la forma 3n + 1.
Veamos que eso no es posible. En primer lugar, veamos que si llegamos a un cuadrado mayor o igual que dieciséis, al obtener la raíz cuadrada, llegamos a un valor menor o igual que el anterior cuadrado no múltiplo de 3.

La lista de cuadrados no múltiplos de 3 es la siguiente: 1, 4, 16, 25, 49, …

Está claro que si, para un valor de x mayor o igual que uno, estamos en el cuadrado de x + 3, que es x² + 6x + 9, el siguiente término será x + 3, y después irán todos los números de 3 en 3. Está claro que x + 3 es menor que el cuadrado de x + 2 (x² + 4x + 4) y que el de x + 1 (x² + 2x + 1), y uno de los dos no será múltiplo de 3. Para saber que es menor, basta restarlo y ver que tiene que ser positivo. Esto quiere decir que desde x + 3 siempre llegamos a un cuadrado más pequeño, excepto para x = 1, es decir, hasta el 4.

Claro, que si todos sus términos son de la forma 3n + 1, subiremos hasta encontrar un cuadrado, y, si es mayor que 16, descenderemos por debajo de otro cuadrado diferente, y volveremos a subir de término en término hasta llegar a un cuadrado inferior al anterior.

Es decir, que si hay una sucesión compuesta de números 3n + 1, irá pasando de un cuadrado a uno inferior, hasta llegar a uno inferior a 16. Por lo tanto, llegará a 4. Y de ahí a 2, con lo que no puede ser que todos sus términos sean de la forma 3n + 1.

Por tanto, la respuesta correcta, como hemos visto, es que las únicas sucesiones que cumplen lo que dice el problema son aquellas que empiezan en un múltiplo de 3.