Olimpiada del Cono Sur, primer problema del año 2017
Diremos que un número es guayaquileano si la suma de los dígitos de n es igual que la suma de los dígitos de n².
Encuentra todos los posibles valores que puede dar la suma de las cifras de un número guayaquileano.
Solución:
Probando varios números, rápidamente encontramos que puede ser 1, 9 y 10. Ejemplos inmediatos son 1 (y 10, y 100), 9 (y 18), y 19. Pero no es sencillo encontrar más.
Sumar las cifras de un número está relacionado con los múltiplos de 9. Sabemos que si las cifras de un número suman múltiplo de 9, el número lo es. Pero no sólo ocurre ésto, si no que la suma de las cifras de un número nos indica cuánto es el resto al dividirlo entre 9. Es decir, que la suma de las cifras tendrá el mismo resto que el número original al dividirlo entre 9.
Esto sucede debido a la forma que las cifras se relacionan con el valor de un número. Veamos, si las cifras de un número son, por ejemplo, 4, 6 y 8, en ese orden, quiere decir que en realidad ese número es el 400 + 60 + 8 = 468. Es decir, que en realidad las cifras, multiplicadas por una potencia de 10, suman lo mismo que el número. Ahora bien, como las potencias de 10 tienen un múltiplo de 9 como número anterior (el anterior a 10 es 9, el anterior a 100 es 99 y así sucesivamente), tendremos que 468 = 4*(99 + 1) + 6*(9 + 1) + 8 = 4*99 + 6*9 + 4 + 6 + 8, es decir que 468 es igual a un múltiplo de 9 más la suma de sus cifras. Es evidente que eso puede pasar con cualquier número natural escrito en la forma habitual, así que su resto al dividir entre nueve es el mismo, ya que la parte que es múltiplo de 9 no aporta nada al resto.
Ahora bien, esto aclara muchas cosas, ya que si el número fuese de resto 2, su cuadrado sería de resto 4, y ambos no podrían tener la misma suma. Algo similar pasa si es de resto 3, su cuadrado tendría el mismo resto que 9, es decir, 0.
Los que tengan de resto 4, tendrían un cuadrado de resto 7 (ya que 16 lo tiene), igual que los de 5 (25 tiene resto 7). Ninguno de los dos podrían ser del tipo buscado. Los de resto 6 cumplen la misma condición que los de resto 3. Los que son de resto 7 tienen un cuadrado que es de resto 4 (como el número 49), y los de resto 8, por último, tienen un cuadrado de resto 1 (como el 64).
Es decir, que como mucho podrían ser suma de un número guayaquileano aquellos números que tienen restos 0 o 1 al dividir por 9, como 1, 9, 10, 18, 19, 27, 28.
Pero nos falta obtener al menos un número que dé como resultado esa suma para finalizar el problema.
Para conseguir los múltiplos de 9, la idea nos la da el primer número que suma 18, que es 99. Al elevarlo al cuadrado da (100 – 1)² = 10000 – 200 + 1 = 9801, y sus cifras también suman 18. Probando con el primero que suma 27, 999, obtenemos que su cuadrado es 100² – 200 + 1 = 998001, por lo que de nuevo es guayaquileano. Así podemos obtener todos los múltiplos de 9, ya que 99…9² = 99…980…01 y claramente suman lo mismo.
Para los números que suman un número de resto 1 la cosa es algo más difícil, pero no mucho. Una pista es volver a trabajar de la misma forma, ya que el primer número que suma 10 es 19, y el primero que suma 19 es 199.
De nuevo 19² es 361, y ambos números tienen 10 por suma de sus dígitos. Claro que 199² = (200 – 1)² = 40000 – 400 + 1 = 39601. De nuevo ambos suman 19.
Es fácil mostrar que 199…9² = 399…9600..01, y que el número y su cuadrado tienen la misma suma de cifras exactamente, pues tienen un 9 menos, aunque un 3 y un 6 más.
Es posible que haya otros casos que sumen esas cantidades, pero estos casos existen seguro, de forma que las posible sumas serán todos los múltiplos de 9 y todos los números que tienen resto 1 al dividirlos por 9. Y ningún otro, ya que los restos no coincidirán.