Solución a buscando divisiones

Concurso AIME 2016 (Examen Matemático Invitacional Americano)
Se dirige a una edad de: 15-16 años

En esta competición se invita a las personas que han tenido cierto éxito en el AMC 10 o AMC 12, consta de 15 preguntas para 3 horas, y la respuesta siempre es un número entre 000 y 999.

Cuando dividimos los números 702, 787 y 855 entre el mismo número entero positivo m, obtenemos el mismo resto r.

Cuando dividimos los números 412, 722 y 815 entre el entero positivo n, el resto siempre es s, distinto de r.

Encuentra m + n + r + s.

Solución:

En este problema tenemos que preguntarnos qué significa realmente el resto. Establecemos que 702, 787 y 855 tienen el mismo resto al dividirlos por un cierto número entero, y lo mismo pasa con 412, 722 y 815, aunque sea con otro valor.

Podemos interpretar que 702 = am + r, 787 = bm + r y 855 = cm + r. Si restamos las igualdades dos a dos, eliminaremos r, de forma que sólo dependerá de m el resultado.

Así, 787 – 702 = (b – a)m, y 855 – 787 = (c – b)m, pero eso significa que 85 =(b – a)m y 68 = (c – b)m, pero eso significa que 85 y 68 tienen un divisor común m, que sólo puede ser 17.

No tiene mucho sentido que sea 1, porque entonces los restos serían 0, y eso pasaría con cualquier número.

De la misma forma, 722 – 412 = sn y 815 – 722 = tn, de donde buscamos n entre los divisores comunes de 310 y 93, y de nuevo sólo puede ser 31.

Dividiendo cualquiera de los tres números iniciales entre 17, por ejemplo, el menor de ellos, obtenemos el resto r, que vale 5 (702 = 41·17 + 5). Con uno de los otros tres, entre 31 obtenemos s, que vale 9 (412 = 13*31 + 9).

Y por tanto la respuesta de tres dígitos será 17 + 31 + 5 + 9 = 062.

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dimates

Grupo de divulgación matemática de la Universidad de Alicante

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