Solución a banquete lógico

Canguro matemático (nivel 6) 2017
Se dirige a una edad de: 17 años

Cada una de las 2017 personas que viven en una isla son, o bien mentirosos (que siempre mienten) o veraces (que siempre dicen la verdad).

Más de 1000 de ellos asisten a un banquete, sentados todos alrededor de una mesa redonda.

Cada uno de ellos dice: “De las dos personas que hay sentadas junto a mí, una es mentirosa y la otra es veraz”.

¿Cuantas personas veraces, a lo sumo, hay en la isla?


Solución:

No sabemos cuánta gente asistió al banquete, pero debemos encontrar un patrón que permita que digan eso con el máximo posible de gente veraz. Es decir, que debemos reducir al mínimo la gente mentirosa.

De los que no asistieron al banquete no sabemos nada. Podemos suponer que todos son veraces, de forma que si suponemos que asistió un número poco mayor que 1000 a la cena, podemos aumentar mucho el número de veraces.

Si hay un veraz en la cena, y afirma eso, está rodeado de un veraz y un mentiroso, y a su vez el mentiroso debe tener otro veraz al otro lado, pues en caso contrario no podría mentir. Por lo tanto, la estructura base debe ser sentar los veraces a pares y un mentiroso entre cada par de veraces.

Eso significa que la mesa debe acomodar a un número múltiplo de 3, que debe ser al menos 1002, entre los cuales la tercera parte serán mentirosos. Si no hay más mentirosos en la isla, tenemos un total de 1002/3 = 334 mentirosos, por lo que el número mayor de veraces en esas condiciones será de 2017 – 334 = 1683.

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dimates

Grupo de divulgación matemática de la Universidad de Alicante

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