Problema 3 de la Fase Local (viernes) de la Olimpiada Matemática Española (2018)
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Encuentra todas las funciones reales de variable real que cumplen, para cualquier par de valores x e y, la igualdad siguiente:

f(x + f(x + y)) = f(2x) + y

Solución:

Este tipo de ecuaciones se suelen solucionar buscando propiedades particulares obtenidas para valores concretos de la propiedad general.

Puesto que la ecuación contiene varias sumas, lo primero que debemos estudiar es aquellos casos en los que uno de los sumandos da 0, ya que en ese caso la suma desaparece.

Así, si x = 0 y y = 0, tenemos la igualdad f(0 + f(0)) = f(0), de donde f(f(0)) = f(0).

Ahora, perseguimos saber más del valor f(0). Podemos jugar con valores que incluyan f(0) dentro de la función. Una de los valores posibles es si x = 0 y y = f(0), entonces f(0 + f(0 + f(0))) = f(0) + f(0) = 2f(0). Por tanto, f(f(f(0))) = 2f(0). Usando la igualdad anterior, tenemos que f(f(0)) = 2f(0), y por tanto f(0) = 2f(0), por lo que es necesario que f(0) = 0.

Ahora que sabemos el valor de f(0), podemos deducir cosas más generales, si x = 0, tenemos que f(0 + f(0 + y)) = f(0) + y, por lo que f(f(y)) = y para cualquier valor de y.

Probando entonces qué pasa si y = 0, tenemos que f(x + f(x + 0)) = f(2x) + 0, por lo que f(x + f(x)) = f(2x). Claro, que si en esta igualdad, aplicamos f a ambos resultados, obtenemos que f(f(x + f(x))) = f(f(2x)), y según hemos visto, aplicar dos veces f es como no aplicarlo, así que x + f(x) = 2x, de donde rápidamente deducimos que f(x) = x, y esta igualdad sucede para cualquier x.

Luego la única función que cumple esta condición es f (x) = x, ya que, en efecto, podemos comprobar que la cumple: f(x + f(x + y)) = f(x + x + y) = 2x + y = f(2x) + y.

Una alternativa, propuesta por Javier Nistal, consiste en observar que, si x = 0, entonces f(f(y)) = f(0) + y. A partir de ahí, si tenemos que a y b son números diferentes, f(f(a)) – f(f(b)) = f(0) + a – (f(0) + b) = a – b, por lo que la función es inyectiva (números diferentes deben dar resultados diferentes). Luego, como (suponiendo que y = 0) f(x + f(x)) = f(2x), tenemos que necesariamente x + f(x) = 2x, por lo que f(x) = x, y por tanto está claro que es la única solución. Evidentemente, necesitaríamos comprobar también que esta función cumple dicha condición, como hicimos con la otra solución.