Solución a ascendente múltiplo de 56

Problema 1 del segundo nivel de la Olimpiada de Mayo (2017)
Se dirige a una edad de: 14 años

Decimos que un número entero positivo es ascendente si sus cifras, leídas de izquierda a derecha, están en orden estrictamente creciente. Por ejemplo, 458 es ascendente, mientras que 2339 no lo es.

Hallar el mayor número ascendente que es múltiplo de 56.

Solución:

Para resolver este ejercicio es necesario comprender bien el tipo de número con el que tenemos que trabajar. Debe ser ascendente, múltiplo de 56 y lo mayor posible.

Por un lado, los múltiplos de 56 deben serlo de 7 y de 8. Los de 8, sencillamente acaban en una serie predefinida de 3 cifras concretas. Los de 7 tienen varios criterios de divisibilidad diferentes, que son complicados de aplicar.

Para que sea ascendente, las cifras más grandes ocupan las unidades, después las decenas, y así sucesivamente. Como no se pueden repetir, eso limita el número de cifras que pueden tener.

Y por último, tiene que ser lo mayor posible, es decir, que tiene que tener cuantas más cifras mejor, y cuanto mayores sean las de la izquierda, mejor.

Escribiendo los primeros múltiplos de 56 (112, 168, 224, 280, 336, …) caemos rápidamente en la cuenta que la última cifra debe ser 8, ya que debe ser par. Sin embargo, no puede acabar en 78, deberían ser 68 las últimas dos, porque si no no será divisible por 4.

Y para que sea múltiplo de 8 y ascendente, la cifra anterior mayor posible debe ser un 5.

Con esa terminación, ascendente, el mayor posible es el 1234568. Si fuese múltiplo de 7, todo estaría bien, pero no lo es. Un criterio rápido para transformar mediante restas, respetando la divisibilidad por 7 es extraer la última cifra y restarla duplicada, así nuestro número queda 123456 – 16 = 123440, que se transforma en 12344 – 0 = 12344, en 1234 – 8 = 1226, en 122 – 12 = 110, y en 11 – 0 = 11, que no es múltiplo de 7 (también podemos dividir entre 7 el número completo, pero así aprendemos algo nuevo).

Así, al número que buscamos hay que quitarle al menos una de las primeras cifras (1, 2, 3 ó 4).

Podemos probar con 234568, que no lo es, pero el 134568 sí es múltiplo de 7 (se transforma en 13440, en 1344, en 126, y en 0, que es múltiplo de 7 claramente).

Así, tenemos que el número buscado es el 134568 que en efecto es 2403·56.

No puede ser un número más largo, pues la terminación lo impide (la cifra de las centenas no puede ser mayor que 5). Y si fuese otro número de 6 cifras con otra terminación (por ejemplo, que acabase en una centena con un 4, sus cifras iniciales serían 123, y sería menor.