Solución a hermanos a pares

Problema 5 del nivel B fase comarcal de la Olimpiada de la Comunidad Valenciana 2018
Se dirige a una edad de: 13-15 años

Un grupo de jóvenes está formado por 5 pares de hermanos. Cada uno de los 10 jóvenes tiene una edad diferente comprendida entre 4 y 13 años (incluidas ambas edades).

Las sumas de las edades de las parejas de hermanos son 10, 13, 17, 22 y 23. Si Juan tiene 9 años, ¿qué edad tiene su hermano?

Solución:

Puesto que cada uno tiene edades diferentes, se trata de eliminar posibilidades para estudiar qué situaciones quedan.

La suma 10 debe tratarse de una pareja de 4 y 6 años, puesto que 4 es el mínimo y no puede haber repeticiones.

En el caso de la suma 13 tampoco hay muchas posibilidades, de forma que llegamos a que la única suma posible es 5 y 8 (no puede ser 4 ni 6, y una de las dos personas debe tener menos de 6).

De nuevo, con 17 uno de los dos debe tener menos de 9, sólo puede ser 7, luego el otro debe tener 10.

Para 22, uno debe tener menos de 11, por lo que (puesto que ya tenemos utilizados 4, 5, 6, 7, 8 y 10) debe tratarse de Juan, ya que tiene 9. Por lo que su hermano tiene 13 años.

Y, ya que estamos, la suma de 23 debe lograrse con un par de 11 y 12 años.

Pero la respuesta que se pide es que su hermano tiene 13 años.

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dimates

Grupo de divulgación matemática de la Universidad de Alicante

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