Solución a los dígitos de Joan

Problema 2 del nivel B de la Fase Comarcal de la de la XXX OMCV 2019
Se dirige a una edad de: 14-15 años

Joan elige 3 dígitos y después de hacer todas las permutaciones posibles obtiene 6 números diferentes de 3 cifras cada uno.

Si exactamente uno de los seis es un cuadrado perfecto, y exactamente tres de los seis son números primos, ¿cuáles son los dígitos que ha escogido Joan?

Indica cuáles son los seis números formados por los tres dígitos.


Solución:

No es un problema difícil, se trata de ir eliminando situaciones que no coinciden con los criterios.

En primer lugar, deben ser los tres diferentes, porque si no, no saldrían seis números distintos al permutarlos.

Ninguno debe ser 0, porque los seis son números de tres cifras.

Aunque admitiésemos el 0 como primera cifra de un número de 3, es un número par, y todos los cuadrados de dos cifras serían eliminados por alguno de los dos criterios siguientes que veremos.

Hay menos cuadrados que números primos, así que debemos explorar entre los cuadrados.

Los cuadrados que tienen cifras repetidas no valen (100, 121, 144, 225, 400, 441, 484, 676 y 900).

Como tiene que tener 3 primos entre las permutaciones no puede tener dos números pares, o un par y un 5, porque todos los números de tres cifras que acaban en cifra par o en 5 no son primos. Eliminamos entonces 256, 289, 324, 529, 576, 625, 784 y 841).

Entre los que quedan, hay que descartar estudiando en detalle si tienen o no tres primos y un único cuadrado.

Eliminamos a la vez 169, 196 y 961, porque habría tres cuadrados (los de 13, 14 y 31).

El 19², 361, es un buen candidato, ya que las demás combinaciones no son cuadrados, los números 136 y 316 son claramente compuestos, y 163, 613 y 631 son primos.

El 27², 729, no es válido, porque, al sumar múltiplo de 3 sus cifras, todas las permutaciones son divisibles por 3.

Por tanto sólo hay una única posible respuesta, Joan eligió el 1, el 3 y el 6, que forman las permutaciones 136, 163 (primo), 316, 361 (cuadrado de 19), 613 (primo), y 631 (primo).

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dimates

Grupo de divulgación matemática de la Universidad de Alicante

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