Problema 5 de nivel A de la Fase Comarcal de la de la XXX OMCV 2019 Se dirige a una edad de: 12-13 años
Desde Hogwarts, deben enviar tres cartas a tres futuros alumnos de esta escuela.
Para eso, Hagrid tiene tres lechuzas preparadas, pero cada una de ellas sólo sabe llegar a la casa de la persona que le han asignado.
Hagrid se ha hecho un lío con las cartas y no sabe si le ha dado a cada lechuza la carta adecuada.
¿Cuál es la probabilidad de que al menos una de las cartas llegue a su destino correctamente?
Solución:
Se trata de un problema clásico, originalmente planteado con sobres, aunque en esta ocasión se hace con lechuzas.
Supongamos que quisiéramos calcular la probabilidad de que ninguna de las lechuzas llevara la carta correcta, que suele ser más fácil de calcular que la probabilidad de que al menos una la lleve.
En ese caso, la probabilidad de que la primera lleve la carta correcta es 1/3, luego la probabilidad de que no la lleve es 2/3. En este caso, la lechuza A lleva la carta B.
Tomemos ahora como segunda lechuza a observar la que no es ni A ni B, la C. Hay un 50% de probabilidades de que esta lechuza lleve la carta equivocada, puesto que sólo quedan dos cartas, A y C, y seleccionamos una de las dos al azar.
Y, en ese caso, la tercera lechuza que observamos lleva una carta que no es la suya con total seguridad.
Por lo tanto, la probabilidad de que ninguna de ellas lleve la carta correcta es (2/3)·(1/2) = 1/3 (es decir, la mitad del 66% de los casos).
Luego la probabilidad de que alguna de las lechuzas lleve la carta correcta será 2/3.
También podemos hacer todas las combinaciones posibles, contando aquellas en las que el resultado es favorable.
Nombrando con una mayúscula a la lechuza y una minúscula a la carta, tenemos 6 posibilidades, que es sencillo enumerar:
AaBbCc
AaBcCb
AbBaCc
AbBcCa
AcBaCb
AcBbCa
Se observa que sólo en 2 de ellas (AbBcCa y AcBaCb) ninguna lleva la carta correcta, luego la probabilidad que se nos solicita es 4/6, es decir 2/3.
