Problema 5 del nivel C de la Fase Comarcal de la de la XXX OMCV 2019
Se dirige a una edad de: 10-11 años

Gabriela elige dos números del 1 al 9 y escribe en su libreta el número mayor de la pareja que ha escogido.

Después de elegir todas las parejas posibles de números del 1 al 9 (sin repetir jamás una pareja), Gabriela sumó todos los dígitos escritos.

¿Cuál es el valor de la suma que obtuvo?
Solución:

Se trata, de nuevo, de ordenar la información.

Si elegimos las parejas debemos plantearnos una cosa que puede quedar ambigua. ¿Los números de la pareja al escogerlos están o no ordenados? Es decir, ¿la pareja (2, 3) y la (3, 2) son la misma o no?

Según qué respuesta le demos a esa pregunta, el resultado valdrá el doble.

Supongamos que realmente forman la misma pareja, es decir, que si son diferentes deberemos multiplicar por dos el resultado.

Parejas que tienen un 9 hay 8, es decir, todos los dígitos excepto él mismo. En todas ellas, el número escogido será el 9.

Sin embargo, con el 8 sólo hay 7 en las que el mayor sea el 8 (hay que quitar la 8 – 9, que ya está contada antes).

Además de los ya contados, con el 7 hay 6 más.

Y con el 6, 5 más.

De la misma forma, con el 5 hay 4, con el 4, 3, con el 3, 2 y una con el 2.

Evidentemente, no hay ninguna pareja en la que el mayor sea el 1.

Por lo tanto, la operación que debemos hacer es 2 + 3·2 + 4·3 + 5·4 + 6·5 + 7·6 + 8·7 + 9·8 = 240.

Recordemos que, si aceptamos como parejas diferentes (3, 2) y (2, 3), deberemos duplicar el resultado.