Solución a los mayores de las parejas

Problema 5 del nivel C de la Fase Comarcal de la de la XXX OMCV 2019
Se dirige a una edad de: 10-11 años

Gabriela elige dos números del 1 al 9 y escribe en su libreta el número mayor de la pareja que ha escogido.

Después de elegir todas las parejas posibles de números del 1 al 9 (sin repetir jamás una pareja), Gabriela sumó todos los dígitos escritos.

¿Cuál es el valor de la suma que obtuvo?
Solución:

Se trata, de nuevo, de ordenar la información.

Si elegimos las parejas debemos plantearnos una cosa que puede quedar ambigua. ¿Los números de la pareja al escogerlos están o no ordenados? Es decir, ¿la pareja (2, 3) y la (3, 2) son la misma o no?

Según qué respuesta le demos a esa pregunta, el resultado valdrá el doble.

Supongamos que realmente forman la misma pareja, es decir, que si son diferentes deberemos multiplicar por dos el resultado.

Parejas que tienen un 9 hay 8, es decir, todos los dígitos excepto él mismo. En todas ellas, el número escogido será el 9.

Sin embargo, con el 8 sólo hay 7 en las que el mayor sea el 8 (hay que quitar la 8 – 9, que ya está contada antes).

Además de los ya contados, con el 7 hay 6 más.

Y con el 6, 5 más.

De la misma forma, con el 5 hay 4, con el 4, 3, con el 3, 2 y una con el 2.

Evidentemente, no hay ninguna pareja en la que el mayor sea el 1.

Por lo tanto, la operación que debemos hacer es 2 + 3·2 + 4·3 + 5·4 + 6·5 + 7·6 + 8·7 + 9·8 = 240.

Recordemos que, si aceptamos como parejas diferentes (3, 2) y (2, 3), deberemos duplicar el resultado.

Published by

dimates

Grupo de divulgación matemática de la Universidad de Alicante

Deja un comentario

Tu dirección de correo electrónico no será publicada. Los campos necesarios están marcados *