Problema 2 de la Fase Local de la LVI OME 2020 Se dirige a una edad de: 16-17 años
Sean a1, a2, …, a2020 2020 números reales de manera que la suma de 1009 de ellos cualesquiera es positiva. Demostrar que la suma de los 2020 números también es positiva.
Solución:
Se trata de un problema teórico, pero muy sencillo. Algo similar se puede tratar de modelizar con 8 números, tratando de que la suma de tres cualesquiera salga positiva. Muy pronto caeremos en que de ninguna forma se pueden elegir y que la suma de los 8 salga negativa, y comprobaremos por qué: hay demasiados positivos. En esas condiciones, sólo puede haber un máximo de 2 negativos.
De hecho, puesto que 1009 + 1009 = 2018 = 2020 – 2, basta encontrar dos positivos, y dividir los demás en dos grupos de 1009, ya que la suma de los dos números positivos y los otros dos grupos de 1009, que según el enunciado suman un número positivo, daría un resultado claramente positivo.
Hay varias maneras, suponer que los ordenamos era una de las más sencillas. Puesto que la suma de los 1009 más bajos da positiva, al menos uno de ellos ha de ser positivo, y a partir del que ocupa la posición 1010 todos serían mayores, es decir, positivos.
Otra forma es suponer que hay 1009 negativos. En ese caso, eligiendo esos 1009 contradeciría el que la suma de 1009 cualesquiera es positiva, con lo que es imposible. Por tanto hay menos de 1009 negativos, y por lo tanto hay, no sólo 2, si no 1012 positivos con seguridad, ya que a lo sumo hay 1008 negativos (de hecho se puede diseñar un conjunto así, basta tomar 1008 iguales a -1, y todos los demás 2000, por ejemplo).
