Solución a triángulos diferentes

Problema 3 del concurso marató de problemes 2019
Se dirige a una edad de: 14-15 años

Tenemos siete listones, cuyas longitudes, todas diferentes, en centímetros, son 3, 4, 7, 8, 24, 26 y 28.

¿Cuántos triángulos diferentes podemos construir uniendo tres de estos listones?

Se supone que dos triángulos son iguales si sus tres lados son iguales, aunque sean simétricos en lugar de iguales, es decir, se les puede dar la vuelta y poner los listones al revés, y siguen siendo iguales.
Solución:

Es un problema de combinatoria geométrica, debemos estudiar cada par de posibles pares de listones “grande – pequeño”, y ver qué listones podrían completar el triángulo, teniendo en cuenta que los dos menores deben sumar más que el grande.

Por ejemplo, si el grande es el de 7, el pequeño sólo puede ser el de 3, pero no podríamos cerrar.

Con un lado mayor de 8, y un pequeño de 3, sólo podríamos tener un mediano de 7 (8 – 7 – 3).

También con un menor de 4 (8 – 7 – 4).

Si el lado mayor es 24, ninguno de los más pequeños sirve como menor.

Si el lado mayor es 26, cualquiera de los cuatro más pequeños sirve como menor, pero el mediano debe ser el de 24 (26 – 24 – 3), (26 – 24 – 4), (26 – 24 – 7) y (26 – 24 – 8).

Si el lado mayor es 28, pasa algo similar, el lado mediano puede ser 24 o 26, así que tenemos los siguientes triángulos que sirvan: (28 – 24 – 8), (28 – 24 – 7), (28 – 26 – 3), (28 – 26 – 4), (28 – 26 – 7), (28 – 26 – 8) y (28 – 26 – 24).

En total son 13 los posibles triángulos.

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dimates

Grupo de divulgación matemática de la Universidad de Alicante

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