Problema 4 del concurso marató de problemes 2019 Se dirige a una edad de: 14-15 años
En un trapecio rectángulo de área 2019, los cuatro lados tienen como longitudes números enteros.
¿Cuáles son las longitudes de los lados de este trapecio?
Solución:
En este problema es necesario plantearse cómo se calcula el área de un trapecio.
Sea de una manera (fórmula) o de otra (descomposición en rectángulo y triángulo rectángulo), en ambos casos, la altura del trapecio es un factor común del área, es decir, 2019 tiene un factor que es la altura del trapecio.
Pero como se trata del número entero 2019, los únicos factores posibles serán 1, 3, 671 y 2019.
Ese mismo número será cateto de un triángulo rectángulo, es decir, que si h es la hipotenusa y a es el otro cateto, resulta que ese número al cuadrado será b² = h² – a² = (h – a)·(h + a), producto de dos números diferentes, uno mayor y otro menor.
Evidentemente, con 1 no puede funcionar, ya que 1² = 1, y no es producto de dos números diferentes.
Si la altura es 3, sí es posible poner 9 como 9·1, y en ese caso, deducimos que a = 4 y h = 5, por ejemplo, haciendo un sistema.
Para terminar, puesto que ese triángulo tiene área 6, elegimos los otros datos para que el área total sea 2019 (3 la altura, 5 el lado oblícuo, 671 el lado menor y 675 el mayor).
¿Podría haber otro trapecio? Si la altura fuese 671, puesto que es un número primo, la única factorización de 671² en dos factores diferentes lleva a números demasiado grandes para el área que tenemos (el más pequeño tendría un área de más de 75 millones de unidades). Y si fuese 2019, el área tampoco podría ser 2019 con los lados enteros, salvo que fuese un rectángulo.
Luego es la única solución, por extraña que sea.
