Problema 9 del concurso marató de problemes 2019 Se dirige a una edad de: 14-15 años
¿Cuántos números de 7 cifras hay, escritos con las siete cifras 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7 (cada cifra debe aparecer exactamente una vez en el número) que sean múltiplos de 11?
A esta pregunta añado yo ¿podrías encontrar cuál es el mayor y cuál es el menor de ellos?
Solución:
Para poder manejar números a partir de cifras, resulta muy conveniente conocer el criterio de divisibilidad típico de los múltiplos de 11.
Las cifras que ocupan una posición par y las que ocupan una posición impar se diferencian en una cantidad que es múltiplo de 11.
Puesto que sólo podemos manipular la posición de las cifras del 1 al 7, vamos a tratar de averiguar cuáles ocupan una posición par y cuáles ocupan una posición impar.
Si queremos que la diferencia sea cero, las más altas deben ir en las posiciones pares, puesto que son menos. Si ubicamos 5, 6 y 7, sumarán 18, mientras que 1, 2, 3 y 4 suman 10. Al cambiar una por otra (pongamos 5 por 4), conseguimos que la diferencia entre los grupos se recorte en 2 unidades, es decir, la diferencia entre las cifras que intercambiamos multiplicada por 2.
Tenemos la posibilidad entonces de cambiar 7 por 3, consiguiendo la posición par 3, 5 y 6, que suman 14, y en la impar 1, 2, 7 y 4, que también suman 14 (de hecho, cualquier grupo de 3 que sume 14 nos valdrá, pues el otro grupo automáticamente sumará 14).
Por tanto, los grupos de cifras que acaben en posición par pueden ser los siguientes: 7 – 6 – 1, 7 – 5 – 2, 7 – 4 – 3 y 6 – 5 – 3. Evidentemente, elegir el número mayor más pequeño no proporciona una suma de 14.
Por otra parte, es evidente que, puesto que la diferencia entre las posiciones pare e impares está entre 8 a favor de las posiciones pares (en el caso en que las de posición par sean las más grandes) y 16 a favor de las impares, en el caso en que sean más pequeñas, podríamos pensar que es posible encontrar otras combinaciones que sumen un múltiplo de 11.
Pero puesto que al cambiar una por otra la diferencia varía de 2 en 2, es imposible lograr una diferencia impar, así que no es posible lograr una diferencia de 11, pero y no llegaremos a una de 22, ya que el máximo se logra situando 1 – 2 – 3 en posición par (que suman 6) y 4 – 5 – 6 – 7 en posición impar (que suman 22), logrando la máxima diferencia de 16.
Para cada una de las cuatro combinaciones que podemos hallar, podemos cambiar la posición de las cifras en posición par (6 posiciones) y las de posición impar (24 posiciones), lo que nos ofrece un total de 6·24 = 144 números de 7 cifras diferentes para cada una de las selección de cifras.
Así que la respuesta debe ser de 144·4 = 576 números diferentes.
El mayor es 7645231 y el más pequeño es 1235476.
Curiosamente, la cantidad total de números de ese tipo que hay es 5040 = 7!, así que la proporción de múltiplos de 11 es mayor de lo que sería si estuviesen representados proporcionalmente, ya que 5040/11 es algo menor que 459.