Problema 10 del concurso marató de problemes 2019
Se dirige a una edad de: 14-15 años

En el tramo de una autopista que va desde A a B se ha implantado el sistema de control de la velocidad de los coches mediante drones.

Se dispone de dos drones diferentes y uno tarda 33 minutos en hacer el trayecto de ida y vuelta, mientras que el otro tarda 28 minutos.

Ambos inician su jornada a las 6.30 h.

Cada día uno empieza en A y el otro en B.

Hoy el más lento empieza en A y el más rápido en B, y no paran en todo el día, hasta que el controlador los detiene a las 23.00 h o un poco más tarde, entendiendo que uno debe acabar en A y el otro en B para empezar su tarea al día siguiente.

¿A qué hora será la primera vez que los dos drones coincidirán justo en uno de los extremos del tramo que controlan, y en cuál de los dos extremos sucederá?

¿Y a qué hora podrá el controlador apagar el último de los drones en marcha?
Solución:

Cada uno de los tramos le cuesta al dron más rápido 14 minutos, mientras que al más lento le cuesta 16.5 minutos.

Para que sean números enteros, podemos contar las unidades de tiempo en medios minutos, así mientras uno tarda 28 medios minutos, el otro tarda 33.

Para que se encuentren en algún momento en un extremo ambos, tendrá que ser un múltiplo de esas dos cantidades medidas en medios minutos, y como no tienen divisores comunes, el primer múltiplo común será 28·33 = 924 medios minutos, lo que hace un total de 7 horas y 42 minutos.

A esa hora, el dron más lento habrá hecho 33 recorridos (con lo que estará en el punto B) y el más rápido habrá hecho 28 recorridos, con lo que también estará en el B. Y la hora será 6:30 + 7:42 = 14:12, las 2 y 12 minutos de la tarde.

Cuando sean las 23h de la noche, habrán pasado desde su comienzo 23:00 – 6:30 = 16:30 horas, es decir 1980 medios minutos. El dron más lento estará en el punto A después de dar 30 vueltas, y el más rápido irá de camino también hacia A, después de dar 35 vueltas y salir de B en el medio minuto que hace 1960, con lo que sólo le faltan 4 minutos (8 medios minutos) para llegar a A.

Lo más rápido es esperar que el rápido llegue a A (1988 medios minutos) y que el más lento llegue a B (2013 medios minutos), ya que si paramos el lento en A a los 1980, hay que esperar que el rápido vuelva a B (en 2016 medios minutos).

Y para que trascurran 2013 medios minutos, la hora debe ser 23:16:30.