Problema 12 del concurso marató de problemes 2019 Se dirige a una edad de: 14-15 años
En una cuadrícula de RxR casillas escribimos un 1 en todas las casillas que corresponden a una fila impar y columna impar; escribimos un 4 en todas las casillas que corresponden a una fila y una columna que tienen diferente paridad, y escribimos un 7 en las casillas que corresponden a una fila par y una columna par.
¿Cuál es la media aritmética de todos los números que hemos escrito?
Nota: debemos proporcionar una expresión para el caso en que R sea par, y otro para el caso en que R sea impar. Si, además, proporcionamos una expresión que sea válida para ambos casos, supondrá una puntuación extra (0,2 puntos añadidos a los 3 del problema).
Solución:
De una observación de los primeros tableros deducimos que el caso par es muy sencillo, ya que corresponde a una composición a base de cuadrados en las que se repite un mismo patrón 1 – 4 – 4 – 7, que tiene media 4.
En el caso en que R sea un número impar, deberemos trabajar más, dividiendo por ejemplo el tablero en zonas.
Tenemos un subtablero de tamaño (R – 1)² = R² – 2R + 1 formado como en el caso anterior, y cuya media seguirá siendo 4, por lo que la suma de todas sus casillas será 4R² – 8R + 4.
Por otra parte, la última columna tendremos que la última casilla de abajo tendrá un 1.
El resto de la columna, así como el resto de la última fila, que tienen un total de 2(R – 1) = 2R – 2 casillas, que se pueden construir con parejas 1 – 4, cuya media es 2,5. La suma total será, por tanto 2,5(2R – 2) = 5R – 5.
De esta forma, la suma de todas las casillas sería 4R² – 8R + 4 + 5R – 5 + 1 = 4R² – 3R. Puesto que el total de casillas es R², la fórmula para la media será (4R² – 3R)/R² = 4 – 3/R.
Podemos comprobar en los casos bajos empíricamente que la fórmula para los casos impares funciona, estudiando R = 1 , que da 1 = 4 – 3/1, y el caso R = 3, que da una media de 3 = 4 – 3/3.
Para conseguir una estrategia adecuada para una fórmula que funcione en los casos pares e impares, conviene recordar que (-1)R es 1 en caso de que R sea par y -1 si R es impar.
Algo que se hace en estos casos es, si queremos que en los casos pares dé un resultado a y en los impares b, es conseguir dos números p y q, de forma que p + q = a y p – q = b, así que p +(-1)Rq funcionará en todos los casos, ya que en los pares sumará p y q, y en los impares los restará.
Resolviendo el sistema p + q = a y p – q = b, tenemos que p = a/2 + b/2, mientras que q = a/2 – b/2. Es tan frecuente encontrarnos estas expresiones, que tienen nombre (semisuma y semirresta).
En nuestro caso, la fórmula que necesitamos será 4/2 + (4 – 3/R)/2 + (-1)R(4/2 – (4 – 3/R)/2)) = 4 – 3/(2R) + (-1)R(3/(2R)), ya que en el caso que R sea par, eliminará la parte que depende de R, y en el caso de que R sea impar sumará -3/(2R) a sí mismo, obteniendo -3/R.
