Solución a un hexágono en un triángulo

Problema 14 del concurso marató de problemes 2019
Se dirige a una edad de: 14-15 años

En un triángulo acutángulo trazamos, desde el punto medio de cada lado, las dos perpendiculares a los otros dos lados.
Justifica que estas 6 rectas forman un hexágono.

¿Qué valor tiene la razón entre las áreas del triángulo y del hexágono?

Demuestra que la razón que has calculado es constante, es decir, no depende de cuál sea el triángulo inicial.

Solución:

Que esas 6 rectas forman un hexágono es muy sencillo de ver. Puesto que el triángulo es acutángulo, las rectas perpendiculares a los lados cortan a esos lados en el interior del triángulo, formando con el vértice un triángulo rectángulo cuyo ángulo es el ángulo interno entre el lado de partida y el lado al que es perpendicular. Por lo tanto, estas rectas se cortan en el interior del triángulo en tres puntos, que junto con los puntos medios de los lados forman el hexágono.

Dicho hexágono tiene lados paralelos dos a dos, pero no tiene por qué ser regular.

Cuando no sabemos calcular una de estas áreas, podemos recurrir a escribir el triángulo en coordenadas. Si elegimos correctamente los ejes, no dependerá de demasiadas variables.

Por ejemplo, podemos elegir un lado y utilizar para él la longitud de 2 unidades (el tamaño en que medimos se puede ajustar, y en cualquier caso, las unidades en las que medimos el cociente de áreas es irrelevante).

Elijo 2 unidades porque voy a utilizar los puntos medios. Además, uno de los lados lo voy a situar sobre el eje x, y apoyado en el origen.

Puesto que el triángulo es acutángulo, voy a poner las coordenadas del primer vértice en (0,0), el segundo en (2, 0), y el tercero tendrá la forma (2a, 2b), siendo a un valor entre 0 y 1, y b un número positivo. Así, el área del triángulo será 2·2b/2 = 2b.

El punto medio de los tres lados, intermedios entre los pares de vértices, serán el (1, 0), el (a, b) y el (1 + a, b).

Mientras estaba haciendo esto, en un dibujo he unido los puntos medios y he conseguido entender algo que puede que encamine la solución del problema.

Al unir los puntos medios de los lados, el triángulo original queda cortado en cuatro triángulos semejantes, iguales entre sí, uno de los cuales está girado. Sin embargo, los otros tienen unas líneas interiores, algunas de las cuales son paralelas.

Estas líneas interiores de los triángulos pequeños son alturas, y, claro, en los tres casos se cortan en el ortocentro de los triángulos, así que en el fondo se trata de la misma figura repetida.

Y las tres partes del hexágono que están fuera del triángulo central, son un fragmento de los tres en que se puede dividir uno de los triángulos pequeños desde el ortocentro.

Por lo tanto, el área del hexágono es el área del triángulo central más la suma de tres trozos con los que se puede construir otro triángulo idéntico.

Luego el área del hexágono constituye dos de los cuatro triángulos idénticos en que se divide el triángulo original, luego representa la mitad del área del triángulo. La razón entre el triángulo y el hexágono, que era lo que se nos pedía, es de 2.

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dimates

Grupo de divulgación matemática de la Universidad de Alicante

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