Problema 4 de la fase nacional de la 57 Olimpiada Matemática Española (2021)
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Sean a, b, c y d números reales tales que a + b + c + d = 0 y a² + b² + c² + d² = 12.

Halla el valor mínimo y el valor máximo que puede tomar el producto abcd, y determina para qué valores de a, b, c y d se consiguen ese mínimo y ese máximo.

Solución:

Está claro que, dada la primera condición, debemos tener números positivos y negativos, y, viendo la segunda, no deben ser mayores que 4 en valor absoluto.

Los números que buscamos, al ser un producto, podrían ser positivos o negativos, así que voy a buscar primero el máximo y luego el mínimo.

Si queremos que el resultado de abcd sea positivo, deben ser dos números positivos y dos negativos.

Es decir, que por ejemplo a + b = -c – d, y podemos asumir que a y b son los positivos y c y d los negativos sin pérdida de generalidad.

Así, abcd = ab(-c)(-d) y por la desigualdad entre media geométrica y media cuadrática, tendríamos que raízcuarta(ab(-c)(-d)) es menor o igual que raíz((a² + b² + (-c)² + (-d)²)/4), y la igualdad se da cuando todos los números son iguales, así que el valor mayor que puede tomar abcd = raíz(3)⁴ = 9, y se da en el caso en que a = raíz(3) = b, y c = -raíz(3) = d.

Ahora, vamos a tratar de encontrar el mínimo. Se tratará de un valor negativo, por lo que tres de los números que buscamos tendrán el mismo signo y el otro tendrá el signo opuesto. Supongamos que los tres primeros comparten el signo, y d tiene el signo opuesto. Evidentemente, da lo mismo a efectos del producto que a, b y c sean positivos o negativos, así que vamos a suponer que se da el primer caso.

Así, a + b + c = -d por la primera relación. Además, la desigualdad entre la media aritmética y la geométrica nos dice que la raíz cúbica de abc es menor o igual que (a + b + c)/3 = -d/3, por lo que si queremos que el producto abcd sea lo menor posible, tenemos que conseguir que abc(-d) sea lo mayor posible, y según la desigualdad, resulta que abc es menor o igual que -d³/27, y por eso abc(-d) es menor o igual que d⁴/27, es decir, que abcd es mayor o igual que -d⁴/27. Y además, la igualdad sólo se da en el caso de que a, b y c son iguales.

Sabiendo que el valor mínimo de abcd se obtiene con valores idénticos para a, b y c, tenemos que d = -3a, y además debe darse que a² + a² + a² + (-3a)² = 12a² = 12, por lo que a = 1, y el valor mínimo en ese caso será -3, y se alcanza para los valores a = b = c = 1, d = -3.