Solución a mascarillas

Problema 1 del nivel B fase comarcal de Alicante de la Olimpiada de la Comunidad Valenciana 2021
Se dirige a una edad de: 14 -15 años

Los municipios de Albatera, Dolores, Callosa del Segura y Rafal deben comprar mascarillas de protección médica de un solo uso FFP2 para el personal sanitario de sus centros de salud.

Con el objetivo de obtener un mejor precio, se ponen en contacto para hacer un pedido conjunto.

Han hablado con Silvia, que es la funcionaria encargada de pedirlas, y por las anotaciones que ésta ha hecho, sabemos que entre Albatera, Dolores y Callosa necesitan 148 cajas, pero entre Rafal, Dolores y Callosa necesitan 126. Además, entre Rafal, Albatera y Callosa necesitan 140 cajas y entre Rafal, Dolores y Albatera, 114.

¿Puedes averiguar cuántas cajas necesita en realidad cada municipio? ¿Y cuántas debe pedir en total?
Solución:

Lo que está claro para casi todos es que se trata de un sistema de ecuaciones con cuatro incógnitas. La forma de tratarlo puede hacer muy rápida la solución o tardar mucho.

Una idea muy rápida es sumar todos los datos que tenemos, así que 148 + 126 + 140 + 114 = 528, y cada pueblo lo habremos contado en realidad 3 veces, de forma que 528/3 = 176 es realmente el total de mascarillas que necesitamos. A partir de ahí, es sencillo ver cuántos necesita cada pueblo, ya que si entre Albatera, Dolores y Callosa, por ejemplo, necesitan 148, Rafal necesitará 176 – 148 = 28 cajas, y así todos los demás.

Otra idea no tan rápida, pero bastante más directa, es averiguar las diferencias entre pueblos. Por ejemplo, si comparamos las necesidades entre Albatera, Dolores y Callosa (148) con las de Rafal, Albatera y Callosa (140), deducimos que Dolores necesita 148 – 140 = 8 más que Rafal. Es decir, podemos calcular cuántas necesita más uno que otro. Una vez que podamos calcular las necesidades de todos los pueblos en función de uno, podremos averiguar cuántos necesita ese pueblo en particular. Siguiendo con este razonamiento, 140 – 126 = 14, indica que Albatera necesita 14 más que Dolores. Y 140 – 114 = 26, luego Callosa necesita 26 más que Dolores. Por lo tanto, si x es el número que necesita Dolores, viendo que 140 = x + 14 + x + 26 + x – 8, tenemos que 140 = 3x + 32, luego x = 36. Y a partir de ahí es sencillo seguir, ya que si Dolores necesita 36, Rafal necesita 28, Callosa 62 y Albatera 50.

Evidentemente, se puede escribir el sistema con todas sus incógnitas y resolverlo por cualquier método, pero será más lento.

El sistema, usando las iniciales de los pueblos como incógnita de cuántas mascarillas necesitan, sería:
A + D + C = 148
R + D + C = 126
R + A + C = 140
R + D + A = 114

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dimates

Grupo de divulgación matemática de la Universidad de Alicante

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