Problema 2 del nivel B fase comarcal de Alicante de la Olimpiada de la Comunidad Valenciana 2021
Se dirige a una edad de: 14 -15 años

Alberto, Beatriz, Carolina, Daniel, Estrella y Felipe son coleccionistas de cuadros.
Dos de esas personas son hermanos.

Un día fueron juntos a una exposición y compraron de la siguiente manera:

Alberto compró 1 cuadro, Beatriz compró 2 cuadros, Carolina, 3, Daniel 4, Estrella 5, y Felipe compró 6 cuadros.

Los dos hermanos pagaron la misma cantidad por cada uno de los cuadros que compraron.

Los demás del grupo pagaron el doble por cada cuadro de lo que pagaron los hermanos.

En total pagaron 100 000 €.

El precio por cada cuadro es un número entero de euros.

¿Quienes son los hermanos?

Solución:

Si lo hacemos con álgebra, resulta más claro.

La primera aproximación a este problema debe hacerse con un supuesto, y comprobando si se cumplen las condiciones.

Supongamos que los hermanos son Beatriz y Estrella. Lo que han pagado por los cuadros entonces sería 2x y 5x, mientras que los demás habrán pagado 2x, 6x, 8x y 12x, en total 35x, lo cual es imposible, ya que 100 000 no es múltiplo de 35. Hemos de ajustar para que lo sea.

Supongamos que todos hubiesen pagado lo mismo, el doble de lo que en realidad pagaron los hermanos, y esto lo escribiremos como 2x.

En ese caso, habrían pagado 2x + 4x + 6x + 8x + 10x + 12x = 42x.

Sin embargo, a los hermanos les han hecho un descuento, es decir, le habrán restado ax + bx, dependiendo de quienes sean.

Eso quiere decir que, si, por ejemplo, los hermanos fuesen Beatriz y Alberto, deberíamos descontar x + 2x = 3x (el mínimo), si fuesen Estrella y Felipe, deberíamos descontar 5x + 6x = 11x (el máximo).

Es decir, que habrán pagado una cantidad entre 31x y 39x.

Afortunadamente, sabemos que el total es 100 000, y para que esa cantidad sea entera, el factor que lo multiplica debe de dividir a 100 000 = 2⁵·5⁵.

Sin embargo, divisores de este número entre 31 y 39 no hay muchos, de hecho, sólo hay uno, el 32 = 2⁵.

Eso significa que en realidad debieron pagar en total 32x = 100 000, con lo que los hermanos debieron pagar 3 125 € por cuadro y los demás 6 250 €.

El total de cuadros de los hermanos es 10, ya que es descuento total es de 10x =31 250.

Y para que en total los hermanos se llevasen 10 cuadros, sólo hay una posibilidad, que sean los que compraron 4 y 6. Por lo tanto los hermanos son Daniel y Felipe.