Problema 5 del nivel A fase autonómica de la Olimpiada de la Comunidad Valenciana 2019 Se dirige a una edad de: 12-13 años
Si construimos un número juntando los primeros números pares consecutivos (246810121416…), ¿qué cifra nos encontraremos en la posición 2019 contando desde la izquierda?
Solución:
Para poder contar hasta un número tan alto como el 2019, deberemos ser rápidos, por ejemplo, si nos damos cuenta de que para escribir los de una cifra sólo usamos 4 espacios (pues sólo hay 4 de estos números), mientras que números pares de dos cifras en realidad hay 45, por ser la mitad de los 90 de dos cifras, pero que cada uno de ellos tiene dos cifras, así que realmente ocuparán un total de 90 espacios.
Cuando nos ponemos a situar los números de 3 cifras, tendremos que hay 450 (la mitad de 900) números de 3 cifras pares, pero cada uno de ellos ocupa 3 posiciones, así que tendremos un total de 4 + 90 + 1350 = 1444 posiciones ocupadas.
A partir de ahí, puesto que buscamos la posición 2019, sólo nos quedará avanzar 575 = 2019 – 1444 posiciones, y además lo haremos de 4 en 4, es decir, los primeros 143 números pares de 4 cifras los escribiremos totalmente, desde el 1000 hasta el 1284. En ese momento, habremos ocupado 1444 + 143·4 = 2016 posiciones.
Así, el que ocupa la posición 2019 será la tercera cifra del 1286, que es un 8.
