Solución a las bolas

Problema 4 del nivel B fase comarcal de Alicante de la Olimpiada de la Comunidad Valenciana 2021
Se dirige a una edad de: 14 - 15 años

Una urna contiene tres bolas blancas y cuatro rojas.

Transferimos tres bolas elegidas al azar a una segunda urna vacía.

Seleccionamos una bola al azar y resulta ser blanca.

¿Cuál es la probabilidad de que, al extraer las dos bolas que quedan en la segunda urna, resulte que cada una es de un color?

Solución:

Este ejercicio fue especialmente complicado, ya que el escenario incluía un proceso complejo y unas restricciones importantes.

He tratado de analizarlo de forma sencilla, pero no he conseguido nada razonable. Vamos a tratar de hacer el procedimiento complejo.

Deberíamos primero elegir la configuración de las tres bolas de la segunda urna, luego elegir una de estas tres primero y luego las otras dos. Seis ramas en total. Pero vamos a pararnos en la cuarta rama, y tomar sólo aquellas en las que es blanca, ya que sabemos lo que ha ocurrido, es decir, descartamos las que no han ocurrido.

Lo primero que hay que hacer es que sólo nos valen aquellas ramas del árbol de sucesos en las que la cuarta opción haya sido blanca, despreciando las otras. Así, la probabilidad total ya no sumará 1, ya que algunas ramas, que son posibles, no han ocurrido. Eso significa que deberemos ver cuál es la nueva probabilidad total, y dividir por ella para que analicemos cuál es la probabilidad de lo que buscamos del total de casos.

Para ver en qué casos la cuarta ha sido blanca, debemos analizar las siguientes situaciones:

BBRB: (2/6)(1/5)(4/4)(2/3) = 16/360 = 2/45
BRBB: (2/6)(4/5)(2/4)(2/3) = 16/360 = 2/45
BRRB: (2/6)(4/5)(3/4)(1/3) = 24/360 = 1/15
RBBB: (4/6)(2/5)(1/4)(2/3) = 16/360 = 2/45
RBRB: (4/6)(2/5)(3/4)(1/3) = 24/360 = 1/15
RRBB: (4/6)(3/5)(2/4)(2/3) = 24/360 = 1/15

Los demás casos son imposibles, ya que no podemos elegir tres bolas blancas, o, si elegimos tres bolas rojas, no saldrá ninguna blanca en la cuarta elección.

Por lo tanto la probabilidad de lo que ha ocurrido realmente es 15/45 = 1/3.

Ahora, si nos fijamos, los sucesos en los que las bolas que quedan en la segunda urna son una blanca y otra roja son los siguientes:

BBRB: (2/6)(1/5)(4/4)(2/3) = 16/360 = 2/45
BRBB: (2/6)(4/5)(2/4)(2/3) = 16/360 = 2/45
RBBB: (4/6)(2/5)(1/4)(2/3) = 16/360 = 2/45

Eso quiere decir que, cuando ocurre el suceso que ha ocurrido, la probabilidad, dentro de ese valor (1/3), de que ocurra lo que nos han pedido es 6/45 = 2/15, por lo que la probabilidad que se busca es (2/15)/(1/3) = 6/15 = 2/5 = 40%

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dimates

Grupo de divulgación matemática de la Universidad de Alicante

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