Solución a un sorteo justo

Problema 3 del concurso Olitele 2021
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Para elegir un elemento del conjunto A = {01, 02, 03, 04, 05, 06, 07, 08, 09, 10, 11, 12, 13, 14, 15} ejecutamos el siguiente procedimiento:

En primer lugar, ponemos en una bolsa z bolas marcadas con un 0 y u bolas marcadas con un 1, y elegimos una bola, que indicará la primera cifra del elemento que elegiremos finalmente.

En segundo lugar, si ha salido un 0, pondremos en una segunda bolsa nueve bolas numeradas 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, y 9 (una de cada), mientras que si ha salido un 1, sólo pondremos en la segunda bolsa seis bolas numeradas 0, 1, 2, 3, 4, y 5 (una de cada). A continuación extraeremos una bola de esta segunda bolsa, que será la segunda cifra de el elemento que escogeremos.

Calcula cuáles han de ser los valores mínimos que pueden tener z y u para que los 15 elementos de A tengan todos la misma probabilidad de ser escogidos.

Solución:

Un curioso problema de probabilidad.

Para llegar a la conclusión, conviene realizar el experimento mental de fijar unos valores de prueba para z y u de forma que podamos hacer los primeros cálculos para luego generalizar.

Puesto que la segunda elección tiene, para los primeros 9 números una probabilidad igual para todos de 1/9, la probabilidad de cada una de estas bolas sería p/9, donde p es la probabilidad de que salga un 0 en la primera extracción.

Igualando esta probabilidad para que todas los elementos tengan la misma, debe ocurrir que p/9 = 1/15, por lo que p = 9/15 = 3/5.

Pero entonces, z/(z + u) = 3/5 y puesto que z + u debe ser mínimo, debe darse que z = 3 y u = 2.

En efecto, en ese caso, la probabilidad de cada uno de los 9 primeros elementos será (3/5)·(1/9) = 3/45 = 1/15, mientras que los otros 6 tendrán una probabilidad de (2/5)·(1/6) = 2/30 = 1/15, que es la misma en todos los casos.

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dimates

Grupo de divulgación matemática de la Universidad de Alicante

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