Solución a calculadora averiada

Problema 5 del concurso Olitele 2021
Se dirige a una edad de: 16-17 años

En mi calculadora, una y sólo una de las teclas 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, o 9 funciona mal: cuando la pulsas, aparece en pantalla un dígito entre 1 y 9 que no es el que corresponde.

En esta calculadora, cuando quiero escribir el número 987654321, aparece en la pantalla un número divisible por 11 y que deja resto 3 al dividirlo por 9.

¿Cuál es la tecla que funciona mal, y qué cifra hace aparecer?

Solución:

Las cifras del número que queríamos poner debe sumar algo menos o algo más que las que hemos puesto, ya que un número lo hemos cambiado por otro. Originalmente, las cifras suman 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 45.

Puesto que el número que queríamos poner es divisible entre 9, y el que hemos puesto deja resto 3, eso quiere decir que, o bien suma 3 unidades más (48) o bien 6 menos (39), es decir, que puede ser una de las siguientes situaciones: 9 por 3, 8 por 2, 7 por 1, 6 por 9, 5 por 8, 4 por 7, 3 por 6, 2 por 5, o 1 por 4.

Veamos ahora la divisibilidad por 11. El número que queríamos poner, vemos que las cifras en posición par suman 8 + 6 + 4 + 2 = 20, mientras que las de posición impar suman 9 + 7 + 5 + 3 + 1 = 25. Eso significa que al dividirlo por 11, su resto es 5 (se puede comprobar también que el número 987654316 es divisible por 11, la diferencia entre la suma de los pares y la de los impares es 11).

Como el número que se ha puesto es divisible por 11, y hemos cambiado un único dígito, eso significa que una de las dos sumas no ha cambiado, pero la otra sí, en menos de 9 unidades, y ahora la diferencia entre ambas es un múltiplo de 11.

Es decir, que o bien 8 + 6 + 4 + 2 = 20 ha pasado a ser 25, o 14 (subiendo una cifra en 5 unidades o bajando en 6), o bien 9 + 7 + 5 + 3 + 1 = 25 ha pasado a ser 31, o 20, subiendo una cifra en 6 unidades o bajando en 5.

Ahora, si comparamos las dos afirmaciones, la única manera en que en ambos casos haya pasado lo mismo es que una de las cifras de la suma 8 + 6 + 4 + 2 = 20 haya bajado en 6 unidades, ya que en ese caso pueden coincidir ambas cosas.

Y la única posibilidad es que sea la cifra 8, ya que no puede darse, según el enunciado, que sea la cifra 6 la defectuosa y que ponga un 0 en pantalla.

Por lo tanto, debe ser la tecla 8 la que es defectuosa, y que haga aparecer un 2 en la pantalla, de forma que el número 987654321 acabará convertido en 927654321, que es 84332211·11, y también es 103072702·9 + 3.

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dimates

Grupo de divulgación matemática de la Universidad de Alicante

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