Problema 3 de la Fase Local de la Olimpiada Española de Matemáticas 2022 (viernes mañana)
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Sean a₁, a₂, a₃, a₄, a₅ y a₆ números reales diferentes, de manera que ninguno de ellos es igual a 0.

Supongamos que (a₁² + a₂² + a₃² + a₄² + a₅²)(a₂² + a₃² + a₄² + a₅² + a₆²) = (a₁a₂ + a₂a₃ +a₃a₄ + a₄a₅ + a₅a₆)².

Demuestra que los números a₁, a₂, a₃, a₄, a₅ y a₆ están en progresión geométrica.

Solución:

He intentado varias vías de solución, pero es con mucho el problema más complejo de esta fase, salvo que conozcas la desigualdad de Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz, en cuyo caso se resuelve directamente.

Voy a citar tres formas de afrontar el problema, aunque por lo que se comentó, la única manera en la que se encontró solución en los casos que oí fue a través de esta tercera vía. Eso hace que sea un problema que no me gusta para esta fase, ya que da por sentado que todos los participantes conocen la desigualdad, o bien que ninguno la conoce, ya que es un factor decisivo en este caso.

Primera forma de resolverlo: comparar con una ecuación de segundo grado (tremendamente creativo, es la solución oficial y probablemente el origen del problema).

La igualdad consiste en un producto de dos números, llamémosles A y B, que es igual a otro número C².

Si transformamos esta igualdad en una resta, tenemos que es equivalente a 0 = C² – AB. Esta expresión se puede comparar con la expresión que hay dentro de la fórmula que permite resolver una ecuación de segundo grado.

Si la multiplicamos por 4, obtenemos 0 = 4C² – 4AB = (2C)² – 4AB. Imaginemos una ecuación de segundo grado que ocasionase esa expresión.

La ecuación correspondiente de segundo grado sería algo así como Ax² – 2Cx + B = 0, y el hecho de que esa igualdad sea cierta, quiere decir que existe una única solución r para esa ecuación, es decir, que existe un valor real (que se puede calcular como C/A, por cierto) que llamaremos r que cumple Ar² – 2Cr + B = 0. Veamos qué quiere decir eso en nuestro caso (por cierto, esto forma parte de una de las auténticas demostraciones de la desigualdad de Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz, con lo que en cierta forma el tercer método permite saltar este original y creativo método).

Eso quiere decir, puesto que tendríamos que A = a₁² + a₂² + a₃² + a₄² + a₅², B = a₂² + a₃² + a₄² + a₅² + a₆² y 2C = 2a₁a₂ + 2a₂a₃ +2a₃a₄ + 2a₄a₅ + 2a₅a₆, que para ese cierto valor r tendríamos (a₁² + a₂² + a₃² + a₄² + a₅²)r² – (2a₁a₂ + 2a₂a₃ +2a₃a₄ + 2a₄a₅ + 2a₅a₆)r + a₂² + a₃² + a₄² + a₅² + a₆² = 0.

Si quitamos paréntesis y agrupamos, tendremos la expresión a₁²r² – 2a₁a₂r + a₂² + a₂²r² – 2a₂a₃r + a₃² + a₃²r² – 2a₃a₄r + a₄² + a₄²r² – 2a₄a₅r + a₅²r² + a₅²r² – 2a₅a₆r + a₆² = 0, lo que nos lleva a una suma de cuadrados, exactamente sería (a₁r – a₂)² + (a₂r – a₃)² + (a₃r – a₄)² + (a₄r – a₅)² + (a₅r – a₆)² = 0.

Ahora, puesto que todos esos números son números reales, el que la suma sea 0 y sean todos cuadrados, es decir, mayores o iguales que 0, obliga a que todos sean realmente 0.

Es decir, que a₂ = ra₁, a₃ = ra₂, a₄ = ra₃, a₅ = ra₄ y a₆ = ra₅, que es precisamente la definición de progresión geométrica.

Segunda forma de resolverlo: verlo como un par de vectores numéricos de 5 dimensiones (geométricamente puede parecer intuitivo, pero requiere un salto en cuanto a propiedades que no corresponde al nivel que se espera de estos estudiantes).

Una vez que se ha estudiado cómo calcular módulos de vectores en el plano y en el espacio, y el producto escalar, a menudo los estudiantes preguntan si se podría hacer en más dimensiones, y la respuesta es que sí, que el producto escalar y el módulo es generalizable a más dimensiones, y se puede utilizar para usos similares en esos entornos.

Si pensamos en un vector cuyas componentes sean (a₁, a₂, a₃, a₄, a₅) y otro cuyas componentes sean (a₂, a₃, a₄, a₅, a₆), la igualdad simboliza que el producto escalar al cuadrado es igual al producto de los módulos al cuadrado.

Eso quiere decir que el producto escalar es igual al producto de los módulos (en valor absoluto). Puesto que es conocido que el producto escalar es el producto de los módulos por el coseno del ángulo que forman, eso significa que ambos vectores apuntan en la misma dirección, es decir, que uno de ellos es igual al otro multiplicado por un valor r, que puede ser positivo o negativo (esta idea forma parte de otra demostración indirecta de la desigualdad de Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz, con lo que en cierta forma el tercer método permite saltar este método).

Pues bien, eso significa que a₂ = ra₁, a₃ = ra₂, a₄ = ra₃, a₅ = ra₄ y a₆ = ra₅, que es precisamente la definición de progresión geométrica.

Tercera forma de resolverlo: he visto varios problemas de desigualdades y la desigualdad de Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz es una de mis herramientas más preciadas.

La desigualdad de Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz afirma que si tengo dos colecciones de k números reales b₁, b₂, … b_k y c₁, c₂, … c_k, resulta que la suma al cuadrado (b₁c₁ + b₂c₂ + … + b_kc_k)² siempre es menor o igual que el producto de las dos sumas (b₁² + b₂² + … b_k²)(c₁² + c₂² + … + c_k²). Además, si se da la igualdad, entonces cada unos de los números c_i = rb_i para un mismo valor r, también real.

En este caso, es evidente que aplicarlo a la igualdad inicial, puesto que se da la igualdad, quiere decir que existe un valor real r de forma que a₂ = ra₁, a₃ = ra₂, a₄ = ra₃, a₅ = ra₄ y a₆ = ra₅, que es precisamente la definición de progresión geométrica.