La teoría de los objetos fractales constituye el contexto matemático idóneo para el estudio y representación de ciertos fenómenos naturales asociados a formas o estructuras sumamente irregulares. Un mayor número de aplicaciones surge cuando se maneja el concepto teórico de multifractalidad, cuya teoría asociada puede ser considerada como una generalización del estudio base de los objetos fractales.
El uso cotidiano de la palabra fractal suele estar vinculado a un objeto geométrico cuya estructura básica, fragmentada o irregular, se repite a diferentes escalas (algo así como objetos geométricos sobre los que se puede divisar que sus partes tienen misma o similar estructura que el todo). Aunque varias de las ideas involucradas en lo que hoy conocemos como teoría de los objetos fractales eran conocidas mucho antes, el término fractal (procedente del vocablo latino fractus que se traduce como quebrado o fragmentado) fue propuesto en 1975 por el matemático Benoît Mandelbrot (1924-2010), considerado el principal responsable del auge de la geometría fractal.
Benoît Mandelbrot (1924-2010)
En contraposición con la geometría clásica de Euclides (la que se estudia desde las primeras etapas escolares y está basada en puntos, rectas y planos que pueden describirse y manipularse mediante expresiones matemáticas sencillas), la geometría fractal proporciona un marco general para el estudio formal de este tipo de objetos geométricos irregulares cuya construcción y desarrollo teórico nos sumerge en el mundo matemático de los procesos infinitos. De hecho, las ampliaciones sucesivas en fragmentos concretos de estos objetos geométricos tipo fractal no nos conducen necesariamente a visualizar únicamente un trazo rectilíneo. Más bien, cada zoom o ampliación realizada nos puede proporcionar una gráfica similar a la global (algo así como copias más pequeñas de la propia figura inicial), lo que se relaciona directamente con la propiedad llamada de autosemejanza que conduce ciertamente a una colección particular de fractales (los fractales autosemejantes).
Esta propiedad de autosemejanza, concebida como la invariabilidad en la forma o estructura del objeto independientemente de la escala empleada (y que se puede definir matemáticamente de una forma exquisita a través de transformaciones de semejanza contractivas), la podemos percibir en la naturaleza de forma intuitiva o aproximada en el caso de que, por ejemplo, nos detengamos a observar con atención la estructura de algunas clases de plantas o árboles (por ejemplo, en una cabeza de coliflor y en algunas clases de helechos en los que cualquier hoja parece una réplica de la figura completa) o el contorno de algunas nubes (lo que en la lejanía se percibe como una única nube, visto de más cerca pueden aparecer fragmentos más pequeños que se repiten a diferentes escalas). En varias ocasiones la literatura también se refiere a este tipo de ejemplos como fractales naturales en el sentido de que la propiedad de autosemejanza serviría únicamente para dar una idea aproximada de la estructura de estos objetos reales o fenómenos naturales.
Estructura fractal del Romanescu y el adianto negro (helecho común en zonas lluviosas).
Un ejemplo representativo de fractal matemático se debe al científico polaco Wacław Franciszek Sierpiński (1882-1969) que ideó su construcción en 1915. Mostraremos a continuación cómo diseñar este objeto geométrico, muy atractivo a nivel visual. Dado un triángulo sólido cualquiera, unamos primeramente los puntos medios de cada uno de sus tres lados, lo que generará cuatro triángulos interiores al triángulo inicial (todos del mismo tamaño). A continuación, eliminemos el triángulo central (su interior) y reproduzcamos el mismo proceso con cada uno de los otros tres triángulos resultantes. Si repetimos este procedimiento geométrico de forma indefinida, obtendremos una secuencia de objetos o conjuntos que, desde un punto de visto topológico, son cerrados, acotados y no vacíos. Así, los puntos que permanecen al límite, es decir, la intersección (infinita) de los conjuntos generados por todas las iteraciones, son los que forman el llamado triángulo de Sierpinski.
Aproximación al triángulo de Sierpinski
A partir de un triángulo en el plano (de dimensión usual o topológica igual a 2, ya que podemos calcular fácilmente su área), hemos visto que para generar el triángulo de Sierpinski se van extrayendo triangulitos cada vez más pequeños y finalmente, en el límite, se obtiene un objeto geométrico que es algo menos que una superficie. De hecho, no es muy complicado apreciar que el área de la figura resultante en cada iteración tiende a 0, pero el perímetro de la figura resultante o la suma de la longitud de los lados que forman las sucesivas figuras geométricas que se generan en cada etapa tiende a infinito. En general, esto hace que no sea descabellada la idea de asociar una dimensión no entera a un objeto fractal a caballo entre la línea y la superficie (para recoger eficazmente tanto su grado de irregularidad y fragmentación, como su eficacia para ocupar o llenar un espacio o conjunto, reflejando propiedades de escalado y autosemejanza). En el caso del triángulo de Sierpinski, la dimensión (de autosemejanza) asociada es de log 3/log 2.
Es importante notar que la forma de obtener ese valor no es casual. Si troceamos en partes iguales cada uno de los lados de la figura inicial, ciertamente su dimensión de autosemejanza se calcula como el valor d que satisface la igualdad s^d=N, donde N es el número de partes obtenidas y s es el número de divisiones en cada lado (equivalentemente, por las propiedades del logaritmo, obtenemos d=log N/log s o d=-log N/log r, donde r=1/s sería el factor de escala utilizado). Por ejemplo, si tomamos un cuadrado, que se puede contemplar como unión de cuatro cuadraditos iguales con longitud de lado la mitad del inicial (por tanto, 2 divisiones del lado), este valor d satisface 2^d=4, esto es, d=2, que es coherente con la dimensión usual o topológica del cuadrado. En el caso del triángulo de Sierpinski, tenemos que s=2 y N=3, lo que nos da justamente el valor d=log 3/log 2.
Son muchas las variantes y extensiones existentes del triángulo de Sierpinski. Por ejemplo, en el caso tridimensional (en el espacio) un proceso análogo de construcción se puede implementar a partir del uso de tetraedros (pirámides triangulares), lo que conduciría al llamado tetraedro de Sierpinski, o incluso con pirámides de base rectangular.
Más allá de este tipo de estructuras geométricas recursivas, y desde un punto de vista estrictamente matemático o formal, la existencia de fractales autosemejantes en el mundo real no es plausible. En efecto, tal como ocurre en los candidatos naturales mencionados con anterioridad, no se perciben copias reducidas del objeto inicial que sean totalmente exactas y, además, se observa únicamente un número finito de niveles de autosemejanza. Sin embargo, el análisis fractal también abarca la posibilidad de identificar en estas formas enmarañadas algún tipo de patrón fractal imperfecto o aproximado, y limitado por varios factores naturales. Un claro ejemplo de ello lo constituye el tratamiento de las imágenes digitales, ampliamente utilizadas para el diagnóstico médico.
El hecho de proporcionar un valor numérico que represente fielmente el tamaño y la forma irregular de alguno de estos elementos naturales no es en general una tarea fácil. Un parámetro que se utiliza habitualmente para identificar un patrón fractal es la llamada dimensión por recuento de cajas, que funciona a base de correlacionar las observaciones a diferentes escalas del mismo fragmento analizado, y que es compatible con el valor de la dimensión (fractal) obtenido con anterioridad.
En el contexto de las imágenes digitales (y en otros como el de la predicción de terremotos o las turbulencias de fluidos), en los últimos tiempos se ha incrementado el uso de la multifractalidad, que contempla la posibilidad de analizar eficazmente la distribución de los píxeles identificativos del contorno estudiado, lo que permite estudiar más localmente su estructura interna y la variación existente en la morfología estudiada.
Para seguir adentrándose en esta teoría de los objetos fractales y multifractales, os remito ahora al artículo que escribí hace unas pocas semanas para Café y Teoremas, de El País, titulado “Geometría fractal para la detección eficaz de tumores” (y, por supuesto, a referencias matemáticas clásicas sobre geometría fractal como el libro de K. Falconer titulado Fractal Geometry, o sobre multifractalidad al libro de D. Harte titulado Multifractals: Theory and applications).
Esta entrada también está inspirada en el trabajo de divulgación realizado en torno a las siguientes publicaciones:
(Libro) Sepulcre, J.M.: “La prevenzione dei tumori e la geometria frattale“, Vol. 34 de: “La Matematica che trasforma il mondo”, Milán, RBA Italia, 2021. ISSN: 2724-1726.
(Artículo) Sepulcre, J.M.: Geometría fractal: la geometría de la naturaleza, SUMA. Revista sobre la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas, Dic. 2020, nº 95, pp. 17-25, 2020.
Escrito por Juan Matías Sepulcre
Este post forma parte del Carnaval de Matemáticas, que en su edición 13.2, está organizado por Gaussianos.