Problema 11 del concurso Olitele 2021
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Queremos repartir 20 objetos idénticos entre Alba, Bernat, Carla y Diana.

a) Razona de cuántas maneras diferentes lo podemos hacer si no se pone ninguna condición al reparto, es decir, que se contempla la posibilidad de que alguna o varias de las cuatro personas no reciban ningún objeto.

b) Explica de cuántas formas se puede hacer el reparto si queremos que cada persona reciba algún objeto. Y, con esta condición, calcula razonadamente en cuántas de estas formas Alba recibe exactamente 3 objetos.

c) Razona de cuántas formas se puede hacer el reparto con el único condicionante de que Diana reciba menos objetos que Alba, y también menos que Bernat, y también menos que Carla.

Repite los apartados anteriores en el caso de que los 20 objetos fuesen todos diferentes

Solución:

Estos problemas de desarrollo son bastante largos, pero se supone que tienes tiempo para escribirlos y contemplar todas las posibilidades.

a) En lugar de empezar con 20, pensemos distribuciones de menos objetos para generalizar.

Si sólo tuviésemos un objeto, tendríamos 4 formas de hacer el reparto.

Si sólo tuviésemos 2, entonces a las 4 formas iniciales deberíamos añadir 6 más, que serían las 6 formas de escoger a qué 2 personas vamos a dárselas de las 4 (4·3/2). Un total de 10.

Si tuviésemos que repartir 3, tendríamos las 4 en que repartiríamos 3 – 0 – 0 – 0, 12 en que repartiríamos 2 – 1 – 0 – 0 , y 4 formas en las que repartimos 1 – 1 – 1 – 0. Un total de 19.

Veamos, si no nos fijamos en a quién le toca una cantidad, cuántos diferentes lotes se pueden hacer con 20 objetos, y cuántos de ellos son realmente diferentes.

Después de dar un par de vueltas y darme cuenta de la enorme cantidad de posibilidades que hay, he decidido que conviene separarlos en repartos que premien con la misma cantidad a varios o no.

Si todos reciben lo mismo, hay una única manera de repartirlos (5 – 5 – 5 – 5), que además corresponde a una única forma de hacer el reparto.

Si hay 3 iguales y uno diferente, tenemos 6 posibilidades (de 0 – 0 – 0 – 20 a 6 – 6 – 6 – 2, teniendo en cuenta que no puedes usar el 5 para los 3 iguales). Tienes 4 formas de repartir cada uno, teniendo en cuenta que sólo una de las 4 personas recibe el diferente. En total 24 formas más.

Si hay 2 iguales y 2 iguales por otro lado, deberían de poder sumar las dos cantidades diferentes 10, lo que puede hacerse de 5 formas (desde 0 – 0 – 10 – 10 hasta 4 – 4 – 6 – 6). Cada una de ellas se reparte eligiendo a 2 de ellos para darles dos de los que son iguales, y los otros dos recibirían el otro (por lo que hay 4·3/2 = 6 formas de hacerlo) lo que hacen 30 repartos más.

Si hay 2 iguales y 2 diferentes, el recuento es algo más pesado. Para (0 – 0), tenemos desde 1 – 19 hasta 9 – 11, un total de 10 formas. Para (1 – 1), tenemos desde 0 – 18 hasta 8 – 10, pero no vale 1 – 17, 8 formas. Para (2 – 2) tenemos desde 0 – 16 hasta 7 – 9, pero no vale 2 – 14, 7 formas. Para (3 – 3) tenemos desde 0 – 14 hasta 6 – 8, sin contar 3 – 11, 6 formas. Para (4 – 4), desde 0 – 12 hasta 5 – 7, sin que valga 4 – 8, 4 formas. Para (5 – 5) tenemos desde 0 – 10 hasta 4 – 6, 5 formas. Para (6 – 6) tenemos de 0 – 8 hasta 3 – 5, pero no vale el 2 – 6, 3 formas. Para (7 – 7) tenemos de 0 – 6 hasta 2 – 4, 3 formas. Para (8 – 8), tenemos 0 – 4 y 1 – 3, sólo 2 formas. Y para (9 – 9) sólo vale (0 – 2), una única forma. En total, 49 repartos. Para repartir cada uno de ellos, elegimos un par ordenado de personas a los que daremos los dos diferentes, el mayor y el menor, y a los otros dos los dos iguales, lo que hace un total de 12 repartos para cada opción, así que serían 12·49 = 588 formas nuevas de repartir los 20 objetos.

Y queda lo más difícil, que los 4 sean diferentes.

Para poder contarlos bien, los ordenamos y vamos buscando en orden.

Si el menor es 0, y el segundo es 1, tenemos del 2 – 17 hasta el 9 – 10, 8 lotes.

Si el menor es 0, y el segundo es 2, tenemos del 3 – 15 hasta el 8 – 10, 6 lotes.

Si el menor es 0, y el segundo es 3, tenemos del 4 – 13 hasta el 8 – 9, 5 lotes.

Si el menor es 0, y el segundo es 4, tenemos del 5 – 11 hasta el 7 – 9, 3 lotes.

Si el menor es 0, y el segundo es 5, tenemos del 6 – 9 hasta el 7 – 8, 2 lotes.

Si el menor es 0 y el segundo es 6 o mayor, no podemos agrupar los que quedan en dos mayores diferentes.

Si el menor es 1 y el segundo es 2, tenemos del 3 – 14 hasta el 8 – 9, 6 lotes.

Si el menor es 1 y el segundo es 3, tenemos del 4 – 12 hasta el 7 – 9, 4 lotes.

Si el menor es 1 y el segundo es 4, tenemos del 5 – 10 hasta el 7 – 8, 3 lotes.

Si el menor es 1 y el segundo es 5, tenemos sólo el 6 – 8, 1 lote.

Si el menor es 1 y el segundo fuese 6 o mayor, no podemos agrupar los demás en dos mayores.

Si el menor es 2 y el segundo 3, tenemos del 4 – 11 al 7 – 8, 4 lotes.

Si el menor es 2 y el segundo 4, tenemos el 5 – 9 y el 6 – 8, 2 lotes.

Si el menor es 2 y el segundo es 5, sólo tenemos el 6 – 7, 1 lotes.

Si el segundo es mayor de 5, ya no hay más formas de agrupar diferentes.

Si el menor es 3 y el segundo es 4, tenemos el 5 – 8 y el 6 – 7, 2 lotes.

Si el segundo es mayor de 4, ya no hay más formas de agrupar diferentes.

Si el primero es 4, ya no hay más formas de agrupar en cantidades diferentes.

En total, hay 49 formas de agrupar en 4 lotes diferentes, y cada una de estas formas podemos repartirla de 24 = 4·3·2·1 maneras distintas, así que tenemos un total de 1176 formas de reparto diferentes.

Así que, en total, si no me he equivocado en el recuento, hay 1819 formas de hacer este reparto de 20 objetos idénticos entre esas 4 personas.

b) Si nadie recibe 0 objetos, hay que descontar alguno de los que hemos sumado.

De todos iguales sale el mismo resultado.

De 3 iguales, una menos (20 formas).

De 2 – 2 iguales, una menos (24 formas).

De 2 iguales, eliminamos 19 posibilidades, con lo que nos quedamos con 30·12 = 360 formas.

Con todas diferentes hay que eliminar 23 maneras de hacer los lotes, lo que deja 26 formas de hacer los lotes y 624 formas.

Así que tenemos un total de 1029 formas.

Ahora bien, se me ocurre que si sabemos que Alba ha recibido 3 objetos, tenemos que repartir los 17 objetos restantes entre las otras 3 personas, así que vamos a la tarea.

Evidentemente, no hay forma de que los 3 reciban lo mismo.

Si hay 2 iguales, tenemos desde (1 – 1 – 15) hasta (8 – 8 – 1), 8 agrupaciones, que habría que multiplicar por 3, y tendríamos 24 formas.

Si todas son diferentes, volvemos a hacer un sistema similar al inicial.

Si el menor es 1, del 2 – 14 hasta el 7 – 9, 6 lotes diferentes.

Si el menor es 2, del 3 – 12 hasta el 7 – 8, 5 lotes diferentes.

Si el menor es 3, del 4 – 10 hasta el 6 – 8, 3 lotes diferentes.

Si el menor es 4, sólo tenemos 5 – 8 y 6 – 7, 2 lotes diferentes.

Si el menor es 5 o mayor, no hay forma de repartir en lotes diferentes.

En total podemos hacer 16 lotes diferentes que podríamos distribuir de 6 formas diferentes cada uno, lo que hace un total de 96 formas.

En total, si Alba tiene 3 objetos, hay 120 formas diferentes de repartir los restantes 17.

c) Me parece que esto se puede interpretar de varias formas. Voy a tratar de razonar de cuantas formas podemos hacer el reparto de forma que una de ellas (Diana) reciba menos que las otras tres.

Evidentemente, no podemos hacer 4 lotes iguales, ni 2 y 2 iguales.

Si hacemos 3 iguales, el diferente deberá tener menos, sólo habrá uno 6 – 6 – 6 – 2, que sólo se puede dar de una manera.

Si hacemos 2 iguales sólo, uno de los diferentes será el menor, así que para (1 – 1) tendríamos un lote sólo, para (2 – 2) tendríamos 2, para (3 – 3) tendríamos 3, para (4 – 4) tendríamos 4, y a partir de ahí valdrían todos, es decir, tendríamos 5, 3, 3, 2, 1, en total 24 formas de hacer los lotes. A la hora de repartir los lotes, el de Diana sería uno de los diferentes, y los otros 3 hay 3 formas de repartirlos, por haber 2 iguales, así que un total de 24·3 = 72 formas de repartir.

Y si son los 4 distintos, el recuento de lotes vale en su totalidad (49), y hay 6 formas de repartirlos, suponiendo que a Diana le toca el menor, así que 294 formas.

En total, hay 367 formas de hacer esto.

Ahora, si suponemos que los objetos son diferentes, parece que tenemos que rehacer el ejercicio, pero en ese caso es más sencillo, porque basta verlo en sentido contrario, es decir, repartir los 4 candidatos entre los premios, pudiendo repetir.

a) Tendríamos 4²⁰, que es un número enorme de formas de repartirlos.

b) Este apartado se vuelve más complejo, ya que habría que restar a la cantidad anterior aquellos casos en los que uno de ellos ha quedado sin nada.

Contemos por tanto la cantidad de veces que alguien se queda sin nada. Hay 4 ocasiones en que todas las cosas pasan a un único destinatario, es decir, 4 casos en que tres se quedan sin nada.

Si seleccionamos dos de las cuatro personas para que se queden sin nada (lo que podemos hacer de 6 formas posibles, hay un total de 2²⁰ formas de repartir los objetos entre los otros dos, pero hay que descontar las dos formas en las que una tercera persona se queda sin nada, en total hay 6·(2²⁰ – 2) formas en las que 2 personas exactamente se quedan sin nada.

Por último, si seleccionamos 1 persona para que se quede sin nada, tendríamos 3^20 formas de repartir los objetos entre las 3 personas sobrantes, a lo que habría que restar las 3 formas en las que todo se lo queda una persona, y, seleccionando otra persona (3 maneras), las 2²⁰ – 2 formas en las que hay una segunda persona que se queda sin nada. En total, serían 3²⁰ – 3 – 3·(2²⁰ – 2) = 3²⁰ – 3·2²⁰ + 3 formas en las que exactamente una persona determinada se queda sin nada.

Por lo tanto, el número exacto de formas en las que podemos repartir 20 objetos entre 4 personas de forma que no haya nadie que se queda sin ningún premio, serían 4²⁰ – 4 – 6·(2²⁰ – 2) – 4·(3²⁰ – 3·2²⁰ + 3) = 4²⁰ + 6·2²⁰ – 4·3²⁰ – 4, lo que sigue siendo un número realmente enorme.

Darle 3 objetos a una de las personas tampoco haría sencillo el cálculo, pero consistiría en seleccionar las tres cosas que va a tener esa persona (que sería 20·19·18/6 = 20·19·3 = 1140 formas diferentes) y calcular de nuevo de cuántas formas podríamos repartir los 17 objetos restantes entre los demás, con la condición de que nadie se quede sin nada.

Si no me equivoco, serían 3¹⁷ – 3 – 3·(2¹⁷ – 2) = 3¹⁷ – 3·2¹⁷ + 3 formas, una vez que seleccionemos los tres objetos que le vamos a dar, es decir, en total 1140·(3¹⁷ – 3·2¹⁷ + 3).

De nuevo tenemos un número terriblemente grande. Pero la proporción es aproximadamente en una de cada 7 formas, se quedaría con exactamente 3 objetos.

c) La tercera condición, en la que Diana recibe menos objetos que los demás, tiene una dificultad añadida, ya que puede haber un empate y habría que descontar esos casos (si no pudiese haber empate, bastaría dividir por 4).

Con la práctica que hemos tomado en el apartado b) podemos hacerlo de la siguiente forma:

Casos en los que Diana recibe 0 objetos, y todos los demás al menos 1.

Casos en los que Diana recibe 1 objeto, y todos los demás al menos 2.

Casos en los que Diana recibe 2 objetos, y todos los demás al menos 3.

Casos en los que Diana recibe 3 objetos y todos los demás al menos 4.

Casos en los que Diana recibe 4 objetos y todos los demás al menos 5.

Pero el recuento es especialmente difícil, si tenemos en cuenta que no debemos repetir un reparto.

No se me ocurre ninguna forma de simplificarlo.