Problema 1 del concurso Marató de problemes 2022 Se dirige a una edad de: 14-15 años
El número 20 = 2²·5 tiene 6 divisores enteros positivos, el número 22 = 2·11 tiene 4 y el 2022 = 2·3·337 tiene 8.
¿Cuántos divisores enteros positivos tiene 20²²?
Solución:
Una de las estrategias, si no conoces la fórmula, es descomponer los divisores en factores.
En el caso de 20, que tiene 6 divisores, serían los siguientes:
Los que sólo tienen factores 2: 1, 2, 2².
Los que tienen un único factor 5: 5, 2·5, 2²·5.
Otro ejemplo, para el 2022 = 2·3·337.
Tendríamos los divisores que sólo tienen el factor 2: 1, 2.
Los que tienen el factor 3 y el 2: 3, 2·3.
Luego, estos 4 los combinamos con el factor 337:
337, 2·337;
3·337, 2·3·337.
En total los 8 divisores de 2022 (1, 2, 3, 6, 337, 674, 1011 y 2022). Con este sistema no siempre salen ordenados.
De la misma forma, para 20²², tenemos que su descomposición sería 2⁴⁴·5²², así que tendríamos:
45 divisores que no tienen ningún 5: 1, 2, 2², 2³, … , 2⁴⁴.
Otros 45 divisores que tienen un único 5: 5, 2·5, 2²·5, 2³·5, … , 2⁴⁴·5.
Otros 45 más que tienen dos factores 5: 5², 2·5², 2²·5², 2³·5², … , 2⁴⁴·5².
Y así sucesivamente, hasta los 45 divisores que tienen un 5²²: 5²², 2·5²², 2²·5²², 2³·5²², … , 2⁴⁴·5²².
En total serían 45·23 = 1035 divisores.
