Solución a ecuación diofántica

Problema 9 del concurso Marató de problemes 2022
Se dirige a una edad de: 14-15 años

¿Cuántas soluciones diferentes tiene la ecuación 9x + 2y + 3z = 59, en la que x, y, z son números enteros positivos?

¿Cuál es el mayor valor que toma x + y + z para alguna de estas soluciones?

Solución:

Vamos a estudiar los valores que pueden verificar 9x + 2y + 3z = 59. Puesto que x, y, z deben ser mayores o iguales que 1, 9x + 2y + 3z debe valer al menos 14, y la diferencia entre 14 y 59 es 45.

¿Cómo podemos obtener 45 unidades sumando un múltiplo de 9, uno de 2 y uno de 5?
Veamos. 45 es 9·5, así que una solución podría ser (6, 1, 1).

Si x vale 5 (es decir, faltan 45 – 9·4 = 9) podemos obtener los 9 que faltan de dos formas, como 3·3 y como 2·3 + 3·1, lo que nos aporta dos soluciones nuevas, (5, 1, 4) y (5, 4, 2).

Si la x vale 4 (nos faltan con las otras dos 45 – 9·3 = 18) podemos obtener los 18 de las formas siguientes: 3·6, 2·3 + 3·4, 2·6 + 3·2 y 2·9, un total de 4 formas, que nos daría estas 4 soluciones: (4, 1, 7), (4, 4, 5), (4, 7, 3) y (4, 10, 1).

Si la x vale 3 (faltan entonces 27), podemos lograr esos 27 de las siguientes formas: 3·9, 2·3 + 3·7, 2·6 + 3·5, 2·9 + 3·3, y 2·12 + 3·1, 5 formas (observa que en cada una le “quitas” 2 a la z y le “añades” 3 a la y para compensar). Representa las soluciones (3, 1, 10), (3, 4, 8), (3, 7, 6), (3, 10, 4), (3, 13, 2).

Repitiendo el proceso para una x de 2, tenemos los puntos (2, 1, 13), (2, 4, 11), (2, 7, 9), (2, 10, 7), (2, 13, 5), (2, 16, 3) y (2, 19, 1).

Por último, para un valor x de 1, tendríamos (1, 1, 16), (1, 4, 14), (1, 7, 12), (1, 10, 10), (1, 13, 8), (1, 16, 6), (1, 19, 4) y (1, 22, 2).

Ahora, podemos comprobar entre todos ellos cuál es el que mejor suma x + y + z tiene, pero también podemos deducir que el que más importancia va a tener es la y, ya que para conseguir el 59 es el que tiene el factor más bajo. Por tanto, el valor más alto se va a dar en 1 + 22 + 2 = 25, ya que los siguientes serían 1 + 19 + 4 = 24, 1 + 16 + 6 = 23 y 2 + 19 + 1 = 22.

Nos podemos fijar en que un valor más alto de x siempre podemos cambiarlo por 3 unidades más de z, y cada 2 unidades de z podemos cambiarlas por 3 de y, que suman más.

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dimates

Grupo de divulgación matemática de la Universidad de Alicante

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