Solución a invirtiendo las reglas

Problema 10 del concurso Marató de problemes 2022
Se dirige a una edad de: 14-15 años

Aplicamos una de las siguientes reglas a un número positivo n:

Si n es impar, lo incrementamos 5 unidades, pasamos a n + 5.

Si n es par, lo dividimos por 2, y por tanto pasamos a n/2.

Aplicamos esta regla a un número entero k y obtenemos r.

Después aplicamos la regla a r y obtenemos s.

Finalmente aplicamos la regla a s y obtenemos t.

Si resulta que t es 2022, ¿cuál es el valor más pequeño que puede tener el número inicial k?

Solución:

Estudiemos los posibles valores para s. Puesto que sólo se han podido aplicar dos reglas, ese número o era par, y se ha dividido por 2 (4044), o bien era impar y se le han sumado 5 (2017).

Ahora bien, para r tendríamos que considerar 4 casos. Si era par y s es 4044, r debe ser 8088, y si es impar y s es 4044, debe ser 4039. Si es par y s es 2017, será el 4034, y no puede ser impar y ser s 2017, ya que al sumarle 5 debe ser par en ese caso.

Por lo tanto, tendremos 6 posibilidades para el valor k, que podemos detallar a continuación:

Si r es 8088, y k par, k vale 16176.

Si r es 8088, y k impar, k vale 8083.

Si r es 4039 y k es par, k vale 8078.

Si r vale 4039, k no puede ser impar.

Si r vale 4034 y k es par, debe ser el 8068.

Si r vale 4034 y k es impar, será el 4029.

Por tanto, el menor valor posible para k debe ser 4029, r sería entonces 4034, s sería 2017 y t sería 2022, como nos han pedido.

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dimates

Grupo de divulgación matemática de la Universidad de Alicante

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