Problema 10 del concurso Marató de problemes 2022 Se dirige a una edad de: 14-15 años
Aplicamos una de las siguientes reglas a un número positivo n:
Si n es impar, lo incrementamos 5 unidades, pasamos a n + 5.
Si n es par, lo dividimos por 2, y por tanto pasamos a n/2.
Aplicamos esta regla a un número entero k y obtenemos r.
Después aplicamos la regla a r y obtenemos s.
Finalmente aplicamos la regla a s y obtenemos t.
Si resulta que t es 2022, ¿cuál es el valor más pequeño que puede tener el número inicial k?
Solución:
Estudiemos los posibles valores para s. Puesto que sólo se han podido aplicar dos reglas, ese número o era par, y se ha dividido por 2 (4044), o bien era impar y se le han sumado 5 (2017).
Ahora bien, para r tendríamos que considerar 4 casos. Si era par y s es 4044, r debe ser 8088, y si es impar y s es 4044, debe ser 4039. Si es par y s es 2017, será el 4034, y no puede ser impar y ser s 2017, ya que al sumarle 5 debe ser par en ese caso.
Por lo tanto, tendremos 6 posibilidades para el valor k, que podemos detallar a continuación:
Si r es 8088, y k par, k vale 16176.
Si r es 8088, y k impar, k vale 8083.
Si r es 4039 y k es par, k vale 8078.
Si r vale 4039, k no puede ser impar.
Si r vale 4034 y k es par, debe ser el 8068.
Si r vale 4034 y k es impar, será el 4029.
Por tanto, el menor valor posible para k debe ser 4029, r sería entonces 4034, s sería 2017 y t sería 2022, como nos han pedido.
