Solución a lanzando monedas

Problema 2 del nivel A de la Olimpiada Autonómica de la Comunidad Valenciana
Se dirige a una edad de: 12-13 años

Paula y Roberto juegan a lanzar monedas. ¿En qué caso es más probable que saquen el mismo número de caras?

Primer caso: Paula lanza una moneda y Roberto lanza dos.

Segundo caso: Paula lanza dos monedas y Roberto lanza tres.

Solución:

Vamos a analizar detalladamente cuál es la probabilidad, en cada caso, de que saquen la misma cantidad de monedas, y después las compararemos.

El primer caso es algo más simple. Si sacan la misma cantidad de caras, o bien sacan una, o bien ninguna.

La probabilidad de sacar una cara es de 0,5 para Paula y del 0,5 para Roberto, por lo que en un 25% de los casos ambos sacarían una cara (probabilidad 0,5·0,5 = 0,25).

La probabilidad de sacar 0 caras es de 0,5 para Paula y de 0,25 para Roberto, por lo que la probabilidad de que ambos saquen 0 caras sería de 0,5·0,25 = 0,125.

En el total de casos, tendrían una probabilidad de 0,375 de sacar la misma cantidad de caras.

En el segundo caso, la complejidad aumenta un poco, ya que tenemos más subcasos. Pueden sacar la misma cantidad de caras sacando 0 caras, sacando una, o bien sacando ambos dos caras.

Empecemos por sacar 0 caras. Paula tiene, en el segundo caso, una probabilidad de 0,25 de sacar 0 caras, mientras que Roberto tiene una probabilidad de 0,125, por lo que tendrían una probabilidad de 0,03125 de sacar ambos 0 caras.

La probabilidad de que Paula saque 1 cara es de 0,5, mientras que, de las 8 situaciones equiprobables de Roberto, en 3 de ellas saca exactamente una cara (recomiendo hacer el árbol de las ocho situaciones), por lo que su probabilidad es de 0,375. En definitiva, la probabilidad de que ambos saquen exactamente 1 cara sería de 0,1875.

Por último, la probabilidad de que Paula saque dos caras sería de 0,25, mientras que la probabilidad de que Roberto saque dos caras es de 0,375 (vale el mismo árbol anterior), de forma que la probabilidad de que ambos saquen dos caras sería de 0,09375.

Sumando estos tres casos, tendríamos 0,3125 de probabilidad de sacar la misma cantidad de caras en el segundo caso.

Así que en realidad en el primer caso es ligeramente más probable (0,375 a 0,3125) sacar la misma cantidad de caras.

A nivel intuitivo, se observa que hay una menor cantidad de casos, con lo que se pueden acumular en un mismo caso en un mayor porcentaje del total de los intentos, pero es muy difícil cuantificarlo a nivel formal.

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dimates

Grupo de divulgación matemática de la Universidad de Alicante

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