Problema 1 del segundo nivel de la Olimpiada de Mayo 2023 Se dirige a una edad de: 13-14 años
El día de Pascuas, 4 niños y sus madres participaron de un juego en el que había que encontrar huevos de chocolate que estaban escondidos.
Agustín encontró 4 huevos, Bruno encontró 6, Carlos encontró 9 y Daniel encontró 12.
La señora Gómez encontró la misma cantidad de huevos que su hijo, la señora Junco encontró el doble de huevos que su hijo, la señora Messi encontró el triple de huevos que su hijo y la señora Núñez encontró el quíntuple de huevos que su hijo.
Al final del día, guardaron todos los huevos en cajas, con 18 huevos en cada caja, y sobró un solo huevo. Determinar quién es la madre de cada niño.
Se trata de emparejar los números y los múltiplos de forma que restando un huevo quede un múltiplo de 18.
Los huevos que encontraron los chicos fueron 4, 6, 9 y 12. Está claro que tres de esos números son múltiplos de 3, y tres son múltiplos de 2, de forma que el otro debe evitar que la suma sea múltiplo de 3 o de 2, ya que 18 lo es.
Los multiplicadores son 1, 2, 3 y 5, y como hay que sumarlos a los huevos de sus hijos, el efecto práctico es que multiplicamos esos números de alguna forma por 2, 3, 4 y 6 (uno más, ya que sumamos lo que ha encontrado el niño con lo que ha encontrado la madre).
Está claro que la persona que ha encontrado 9 debe multiplicarse por la madre que duplica sus huevos, para obtener un número impar en total (27). Eso significa que Carlos es el hijo de la señora Junco.
De forma similar el primero, que encuentra 4, debe multiplicarse bien por 2 o bien por 4, ya que en caso contrario obtenemos un resultado par.
A partir de ahí, probamos diferentes opciones. Puesto que con 27 llenamos un bloque de 18 y medio, deben sobrar 10.
Si multiplicamos 6 o 12 por 6, es exactamente un múltiplo de 18, así que no influyen en que sobren 10.
Si multiplicamos 4·2 + 6·4 da 32, que hace que sobren 14.
Segunda opción, 4·2 + 12·4 da 56 (24 más), lo que hace que sobren 2.
La tercera opción sería 4·4 + 6·2, que da 28 y sobran exactamente 10 (el resultado perfecto).
La cuarta opción, 4·4 + 12·2 da 40 (12 más) y sobran 4, resultado no válido.
Por lo tanto, Agustín es el hijo de Messi, Daniel el de Núñez y Bruno el de Gómez.
