Problema 5 del segundo nivel de la Olimpiada de Mayo 2023
Se dirige a una edad de: 13-14 años

Sobre la mesa hay 50 pilas de monedas que tienen 1, 2, 3, …, 50 monedas respectivamente.
Ana y Beto juegan al siguiente juego por turnos.

Primero, Ana elige una de las 50 pilas de la mesa, y Beto decide si esa pila es para Ana o para él.

Después, Beto elige una de las 49 pilas restantes de la mesa, y Ana decide si esa pila es para ella o para Beto.

Ellos continúan jugando alternadamente de esta manera hasta que uno de los jugadores tenga 25 pilas.

Cuando eso ocurre, el otro jugador toma todas las pilas restantes de la mesa y el que tiene más monedas, gana.

Determinar cuál de los dos jugadores tiene una estrategia ganadora.

Solución:

Este problema es bastante complejo, por el número de estrategias que se pueden ensayar, y lo complejo que puede ser probar que con esa estrategia se gana siempre.

Como siempre en estos casos, vamos a simplificar mucho el juego, a ver si tenemos una imagen clara de la estrategia ganadora.

Si sólo hay dos pilas, con 1 y 2 monedas, la estrategia está muy clara, y permite ganar siempre al que no elige, ya que si Ana selecciona la pila de 1, se la queda Ana, mientras que si selecciona la de 2, se la queda él. Eso le permite ganar.

Supongamos que hay 4 pilas. Al elegir Ana una pila, está claro que si es muy pequeña, a Beto le interesa que se la quede Ana, y si es muy grande, quedársela él. Sin embargo, puede llegar un empate si Ana repite lo mismo: supongamos que Ana elige la 2, y Beto decide que se la quede. Beto elige la 1, y Ana decide que se la quede Beto. Ahora, Ana elige la 3, y Beto decide que se la quede Ana, por lo que Ana tendrá 5 monedas (2 + 3) y Beto también (1 + 4).

En el caso que nos ocupa, no puede darse un empate, ya que el total de monedas es impar (1 + 2 + … + 50 = 50·51/2 = 1275).

Sin embargo, la idea con los primeros casos nos puede sugerir una estrategia ganadora por parte de Beto.

Imaginemos que hay 6 pilas (que también suma un número impar). La estrategia va a consistir en que, si Ana elige uno de los de la mitad más pequeña, se la va a quedar Ana, mientras que si elige uno de los de la mitad mayor, será para Beto.

A continuación, Beto elige la pila que suma 7 con esa que ha elegido Ana, que Ana puede quedársela, o dársela a Beto.

De esta forma, aunque las dos se las quede Ana, quedan una pareja que también suma 7 que acabarán siendo para Beto, mientras que si le da ambas a Beto, pasa al contrario. Parece que van a acabar empatados, pero hay un número impar de pasos, de forma que siempre habrá una pareja de las que sumen 7 que se repartirá a favor de Beto.

Para las 50 pilas pasa algo similar, sumando siempre 51.

Puede que haya otras estrategias, pero es mucho más complicado probar que conducen a una situación ganadora.