Problema 2 de la Fase Local de la LXII Olimpiada Matemática Española Se dirige a una edad de: 16-17 años
Encuentra todos los enteros no negativos a, b, c que cumplen que 3a + 3b + 3c es un cuadrado perfecto.
Solución:
Lo primero es tantear un poco. Vemos que 3 + 3 + 3 = 9 y que 3³ + 3³ + 3³ = 81 que también lo es, así que pronto podemos formular la hipótesis de que los únicos enteros no negativos serían los que fuesen iguales e impares.
Es fácil probar que si a es un entero no negativo impar, tenemos que a = 2n + 1 para algún n, con lo que 3a + 3a + 3a = 32n(3 + 3 + 3) = 32n·9 que es el cuadrado de 3n·3.
Ahora, vamos a ver que con ninguna otra combinación de a, b y c se puede lograr este objetivo.
Si fuesen iguales, pero fuesen una potencia par, tendríamos que la suma sería 3·32n, que es el triple de un cuadrado, por lo que no podría ser un cuadrado (es obvio que en la factorización prima de un cuadrado, todos los primos deben estar elevados a una potencia par).
Ahora viene la parte más difícil, que es estudiar los casos diferentes que se presentan si son distintos. Supongamos, sin pérdida de generalidad, que a es el menor de los tres enteros no negativos, y que esa suma con la que vamos a trabajar es un cuadrado perfecto y llegaremos a alguna contradicción.
Definimos r = b – a y s = c – a. Si sacamos factor común la potencia 3a, tenemos que el número que buscamos se transforma en 3a(1 + 3r + 3s), donde bien r o bien s no son 0. Evidentemente, el número 1 + 3r + 3s no puede ser un múltiplo de 3, por lo que a debe ser par y 1 + 3r + 3s debe ser un cuadrado perfecto.
Todos los cuadrados que no son múltiplos de 3 son de la forma 3n + 1, porque (3n + 1)² = 3(3n² + 2n) + 1 y (3n – 1)² = 3(3n² – 2n) + 1 (también se puede razonar por restos módulo 3). Por lo tanto, está claro que ni r ni s pueden ser cero, ya que el número sería de la forma 3n + 2.
Después de trabajar bastante módulo 4, es decir, pensando en la multiplicidad por 4, he visto que no llegaba a una contradicción rápida. Sin embargo, tras mucho pensar, optando por el módulo 8 sale más claro. Resulta que si tengo un número al cuadrado, debe ser de la forma 8n, 8n + 1 o bien 8n + 4. Un estudio detallado nos relaciona los 8 posibles restos con uno de estos tres casos.
Por otra parte, las potencias de 3 sólo pueden ser de la forma 8n + 3 o bien 8n + 1, como se puede razonar multiplicando una y otra vez por 3 volviendo a 0 cada vez que llegas a 8.
Pero claro, en ese caso, según sean de un tipo u otro, tenemos que 1 + 3r + 3s o bien es de la forma 8n + 3, o es de la forma 8n + 5, o bien es de la forma 8n + 7, y por tanto es imposible que sea un cuadrado perfecto. Así llegamos a una contradicción.
Nota 1. Explicación de que todas las potencias de 3 son de esas dos formas. Está claro que 3⁰ = 1 es de la forma 8n + 1. Si multiplicamos por 3 una potencia de la forma 8n + 1, pasamos a 24n + 3, es decir, 8(3n) + 3. si multiplicamos una de la forma 8n + 3, pasamos a 24n + 9 = 8(3n + 1) + 1.
Nota 2. Explicación de que todas los cuadrados son de esas tres formas.
(8n)² = 8(8n²)
(8n + 1)² = 8(8n² + 2n) + 1
(8n + 2)² = 8(8n² + 4n) + 4
(8n + 3)² = 8(8n² + 6n + 1) + 1
(8n + 4)² = 8(8n² + 8n + 2)
(8n + 5)² = 8(8n² + 10n + 3) + 1
(8n + 6)² = 8(8n² + 12n + 4) + 4
(8n + 7)² = 8(8n² + 14n + 6) + 1
Si te fijas, los primeros dos sumandos son claramente múltiplos de 8, la gran diferencia está en el cuadrado del otro sumando, por eso resulta más sencillo estudiar sólo los restos de los cuadrados.