Problema 1 de la Marató de problemes 2020
Se dirige a una edad de: 14-15 años

Con nueve segmentos se ha construido una figura como la que se ve en la imagen.

Todos los segmentos forman en la unión el mismo ángulo.

El sexto segmento corta al primero, y los tres siguientes están dentro, hasta que vuelven a unirse al primero con el mismo ángulo.

¿Cuál es la medida de estos nueve ángulos iguales?

Solución:

Creo que la manera más efectiva de hacerlo es considerando dos polígonos por separado.

El primero de ellos, que sería el externo, tendría 6 lados, y, puesto que puede dividirse en 4 triángulos, sus ángulos internos suman 4·180º = 720º.

Puesto que tiene 5 ángulos iguales y otro (el que hemos pintado de rosa), tendríamos la igualdad 5x + a = 720º.

El segundo de los polígonos sería el interno. Con sus cinco lados, de nuevo puede dividirse en 3 triángulos, así que la suma de sus ángulos internos sería 3·180º = 540º.

Pero este polígono tiene 4 ángulos iguales y otro (que en esta ocasión hemos pintado de naranja), así que la igualdad sería 4x + b = 540º.

Sin embargo, es claro que estos dos ángulos suman 360º, así que si sumamos ambas igualdades, tendremos que: 9x + 360º = 1260º, así que 9x = 900º, de donde deducimos que x = 100º.

En efecto, este tipo de figuras se pueden construir si giramos 100º cada vez.