Problema 5 de la Fase Local de la Olimpiada Española de Matemáticas 2023 (viernes mañana)
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Los inversos de los números enteros positivos de 2 a 2023 se escriben en una pizarra.

En cada paso se seleccionan dos de los números de la pizarra, x e y, y se reemplazan con el número xy/(xy + (1 – x)(1 – y)).

Este proceso se repite 2021 veces, hasta que sólo quede un número.

¿Cuáles pueden ser los posibles números que se obtengan al repetir este proceso?

Solución:

Este problema fue de los que más difícil resultó para los participantes. Se hicieron varias consultas, acerca de qué significaba la palabra inverso y si los dos números se reemplazaban por un número o por dos copias del mismo número.

La idea es que se habla de inverso de un número entero como de aquel valor que cumple que al multiplicarlo por él da 1. Es decir, que el inverso de 3 es ⅓ = 0.333…

Lo primero que debemos de hacer es experimentar con una secuencia corta. Por ejemplo, si se toman los valores ½, ⅓ y ¼ y se sustituyen ⅓ y ¼ por la expresión, tenemos que el valor sería (1/3)(1/4)/((1/3)(1/4)+ (2/3)(3/4)) = (1/12)/(1/12 + 6/12) = (1/12)/(7/12) = 1/7.

Se puede ver que si luego se toma el resultado 1/7 y ½, el resultado sigue siendo 1/7, y que el resultado no varía si las parejas iniciales son otras.

Creo que es bastante ilustrativo el ejemplo. Da la impresión de que si se toman valores de la forma 1/n y 1/m, se obtiene una expresión de la forma 1/p, es decir, seguirán siendo todo el rato inversos de números enteros.

Probemos esta afirmación. Si calculamos la fórmula antedicha en 1/n y 1/m obtendremos (1/n)(1/m)/((1/n)(1/m) + (1 – 1/n)(1 – 1/m)) = (1/n)(1/m)/((1/n)(1/m) + ((n – 1)/n)((m – 1)/m)) = (1/(nm))/((1/(nm) + (n – 1)(m – 1)/(nm)) = (1/(nm))/((1 + (n – 1)(m – 1))/(nm)) = 1/(1 + (n – 1)(m – 1)).

Luego, en efecto, todo el rato es como si estuviésemos trabajando con valores enteros en lugar de con fracciones. Vamos a transformar el problema en otro equivalente, para poder responder a él de forma eficaz.

Así, en lugar de los inversos, escribiremos los números enteros 2, 3, … , 2023. Ahora, cuando seleccionamos dos de los números de la pizarra, n y m, los sustituimos por 1 + (n – 1)(m – 1). cuando acabemos el proceso, el número que quede lo debemos invertir para dar la solución.

Se puede entender fácilmente que el proceso es equivalente debido a la simplificación que hemos hecho.

Si nos fijamos, ahora en el proceso tenemos que restar 1 para hacer las operaciones. Podríamos restar 1 globalmente a todo el proceso, y poner los números reducidos en 1 para entender mejor toda la operación.

El proceso quedará de la siguiente forma: escribiremos los números 1, 2, … 2022 (1 menos en cada caso). Ahora, cuando tomemos los valores n y m, en realidad estaremos tomando los que anteriormente eran n + 1 y m + 1, así que la fórmula que usaremos será 1 + ( n + 1 – 1)( m + 1 – 1) = 1 + nm. Sin embargo, antes de ponerlo en la pizarra, recordemos que estamos escribiendo un número menos, así que pondremos directamente nm.

Cuando acabemos el proceso, para volver al proceso anterior, al resultado deberemos sumarle 1 para volver a la situación anterior, e invertirlo para volver a la propuesta del problema.

De esta forma, es evidente que, independientemente de la forma en la que se tomen los pares de números, en este tercer proceso que tenemos siempre acabará escrito el producto de todos los números enteros escrito inicialmente, 2022! = 1·2·3·…·2022.

Por tanto, en el segundo de los procesos que hemos creado, el número que quedará será 2022! + 1, por lo que en el proceso original del problema sólo puede aparecer un único número como resultado, y será 1/(2022! + 1), el inverso del número (2022! + 1). Nótese que este número no será divisible por ninguno de los números entre el 2 y el 2022, así que su descomposición en primos tendrá números primos muy grandes, como añadido curioso.